-1-四直角三角形的射影定理-2-四直角三角形的射影定理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握正射影即射影的概念,能画出点和线段的射影.2.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.-3-四直角三角形的射影定理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航用射影定理证明勾股定理剖析:如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则由射影定理可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,则AC2+BC2=AD·AB+BD·BA=(AD+BD)·AB=AB2,即AC2+BC2=AB2.由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.-4-四直角三角形的射影定理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一与射影定理有关的计算问题【例1】若CD是Rt△ACB斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定DB和CD的长.分析:先用射影定理求出AD,从而求出DB,再用射影定理求出CD.解: AC⊥CB,CD⊥AB,∴AC2=AD·AB,CD2=AD·DB.∴AD=𝐴𝐶2𝐴𝐵=20225=16.∴DB=AB-AD=25-16=9.∴CD=ξ𝐴𝐷·𝐷𝐵=ξ16×9=12.-5-四直角三角形的射影定理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思1.本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后用勾股定理求出CD;此外还有其他方法.2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角三角形的其他性质相结合来解.如本题中,直角三角形中的六条线段AC,BC,CD,AD,DB,AB,若已知其中任意两条线段的长,就可以计算出其余线段的长.-6-四直角三角形的射影定理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高.若AD=2cm,DB=6cm,求CD,AC,BC的长.解: AC⊥CB,CD⊥AB,∴CD2=AD·DB=2×6=12,∴CD=ξ12=2ξ3(cm). AC2=AD·AB=2×(2+6)=16,∴AC=ξ16=4(cm). BC2=BD·AB=6×(2+6)=48,∴BC=ξ48=4ξ3(cm).故CD,AC,BC的长分别为2ξ3cm,4cm,4ξ3cm.-7-四直角三角形的射影定理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二与射影定理有关的证明问题【例2】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC交AC于点E,EF⊥BC于点F.求证:EF∶DF=BC∶AC.分析:先由射影定理得AC2=CD·BC,即𝐴𝐶𝐶𝐷=𝐵𝐶𝐴𝐶.又由...
