第一章特殊平行四边形 B素养拓展区.pptx

第一章 特殊平行四边形,数学九年级上册北师,专题 特殊平行四边形与图形变换,专项素养拓训,1.2019湖北黄石八校联考如图,在RtABC中,B=90,AC=60 cm,A=60,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动.设点D,E运动的时间是t s(0t15).过点D作DFBC于点F,连接DE,EF.(1)求证:AE=DF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.(3)当t为何值时,DEF为直角三角形?请说明理由.,类型1特殊平行四边形中的动点问题,答案,1.【解析】(1)依题意,得CD=4t,AE=2t.在RtABC中,C=90-A=30.在RtCDF中,C=30,DF=1 2 CD=2t,AE=DF.(2)能.理由如下:DFBC,B=90,DFAB,由(1)知DF=AE,四边形AEFD是平行四边形.当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,则60-4t=2t,解得t=10,当t=10时,四边形AEFD是菱形.,类型1特殊平行四边形中的动点问题,答案,(3)当t=15 2 时,DEF是直角三角形(EDF=90);当t=12时,DEF是直角三角形(DEF=90).理由如下:当EDF=90时,DEBC,ADE=C=30,AD=2AE,60-4t=22t,解得t=15 2(符合题意).当DEF=90时,DEEF,四边形AEFD是平行四边形,ADEF,DEAD,ADE是直角三角形,ADE=90.A=60,DEA=30,AD=1 2 AE,60-4t=1 2 2t,解得t=12(符合题意).综上,当t=15 2 时,DEF是直角三角形(EDF=90);当t=12时,DEF是直角三角形(DEF=90).,类型1特殊平行四边形中的动点问题,2.在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1)如图1,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请写出AE与DF的关系,并说明理由;(2)如图2,当点E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请直接回答“成立”或“不成立”,无需证明)(3)如图3,当E,F分别在CD,BC的延长线上移动时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.,类型1特殊平行四边形中的动点问题,答案,2.【解析】(1)AE=DF,AEDF.理由如下:四边形ABCD是正方形,AD=DC,ADC=C=90.DE=CF,ADEDCF,AE=DF,DAE=CDF.CDF+ADF=90,DAE+ADF=90.APD=90,AEDF.(2)成立.(3)成立.理由如下:同(1)可证AE=DF,DAE=CDF.如图,延长FD交AE于点G,则CDF+ADG=90,ADG+DAE=90,AGD=90,AEDF.,类型1特殊平行四边形中的动点问题,求解运动问题时,往往前面问题的解答思路可用于后面问题的求解.,3.如图,在菱形ABCD中,A=120,E是AD上的点,沿BE折叠ABE,点A恰好落在BD上的点F处,那么BFC的度数是()A.60B.70C.75D.80,答案,3.C【解析】四边形ABCD是菱形,AB=BC,A+ABC=180,BD平分ABC.A=120,ABC=60,FBC=30.由折叠的性质,可得AB=BF,BF=BC,BFC=BCF=1 2(180-30)=75.故选C.,类型2特殊平行四边形中的折叠问题,4.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D的位置,则重叠部分AFC的面积为()A.12B.10C.8D.6,答案,4.B【解析】由折叠及矩形的性质可知,AD=AD=BC=4,ACD=ACD.ABCD,ACD=CAF,ACF=CAF,AF=CF,设AF=CF=x,则BF=8-x.在RtBCF中,BC2+BF2=CF2,42+(8-x)2=x2,解得x=5,AF=5,SAFC=1 2 AFBC=10.故选B.,类型2特殊平行四边形中的折叠问题,5.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把矩形沿AE折叠,使点B落在点B处.当CEB为直角三角形时,BE的长为.,答案,5.3 2 或3【解析】由题意知,需分两种情况讨论:当CBE=90时,如图1,由折叠得,ABE=B=90,AB=AB,ABC=180,A,B,C三点共线.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5.AB=AB=3,BC=AC-AB=2.设BE=x,则CE=BC-BE=4-x,BE=x,在RtBCE中,BE2+BC2=CE2,即x2+22=(4-x)2,解得x=3 2.当BEC=90时,如图2,由折叠可知ABEABE,BE=BE,B=ABE=90,四边形ABEB是正方形,BE=AB=3.综上所述,当CEB为直角三角形时,BE的长为 3 2 或3.,类型2特殊平行四边形中的折叠问题,6.如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点,将正方形纸片折叠,使点B落在点P处,点C落在点G处,PG交DC于点H,折痕为EF,连接BP,BH.(1)求证:APB=BPH.(2)当点P在边AD上移动(不与点A、点D重合)时,PDH的周长是否发生变化?请证明你的结论.,答案,6.【解析】(1)由折叠的性质,得EPH=EBC=90,PE=BE,EBP=EPB,EPH-EPB=EBC-EBP,即PBC=BPH.ADBC,APB=PBC,APB=BPH.,类型2特殊平行四边形中的折叠问题,答案,(2)PDH的周长不变.证明如下:过点B作BQPH,垂足为Q.由(1)知APB=BPH.在ABP和QBP中,=,=,=,ABPQBP,AP=QP,AB=QB.AB=BC,BC=BQ.在RtBCH和RtBQH中,=,=,RtBCHRtBQH,CH=QH.PDH的周长为PD+DH+PH=PD+DH+AP+HC=AD+CD=8.故PDH的周长不发生变化.,类型2特殊平行四边形中的折叠问题,7.小明参加数学兴趣小组的探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2 2 的正方形AEFG按图1的位置放置,AD与AE在同一条直线上,AB与AG在同一条直线上.(1)小明发现DGBE,请你帮他说明理由;(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.,类型3特殊平行四边形中的旋转问题,答案,7.【解析】(1)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形,AD=AB,DAG=BAE=90,AG=AE,ADGABE,AGD=AEB.如图1,延长EB交DG于点H.在ADG中,AGD+ADG=90,AEB+ADG=90,DHE=180-(AEB+ADG)=90,DGBE.(2)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形,AD=AB,DAB=GAE=90,AG=AE,DAB+BAG=GAE+BAG,DAG=BAE,又AD=AB,AG=AE,ADGABE,DG=BE.,类型3特殊平行四边形中的旋转问题,答案,如图2,过点A作AMDG于点M,则AMD=AMG=90,BD是正方形ABCD的对角线,MDA=45.在RtAMD中,MDA=45,AD=2,可得DM=AM=2,在RtAMG中,GM=2 2=6,DG=DM+GM=2+6,BE=DG=2+6.,类型3特殊平行四边形中的旋转问题,8.已知:正方形ABCD中,MAN=45,将MAN绕点A接顺时针方向旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.(1)当MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),求证:BM+DN=MN.(2)当MAN绕点A旋转到BMDN时(如图2),线段BM,DN和MN之间的数量关系是.(3)当MAN绕点A旋转到如图3的位置时,猜想线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系,并对你的猜想加以说明.,类型3特殊平行四边形中的旋转问题,答案,8.【解析】(1)如图1,延长CB至点E,使得BE=DN,连接AE.易证ABEADN,BAE=DAN,AE=AN,EAN=BAE+BAN=DAN+BAN=90,MAN=45,EAM=MAN,又AM=AM,AEMANM,ME=MN,即BM+BE=MN,BM+DN=MN.(2)BM+DN=MN,类型3特殊平行四边形中的旋转问题,答案,(3)DN-BM=MN.理由如下:如图2,在DC上截取DE=BM,连接AE.易证ADEABM,DAE=BAM,AE=AM,EAM=BAM+BAE=DAE+BAE=90,MAN=45,EAN=MAN,又AN=AN,MANEAN,EN=MN,即DN-DE=MN,DN-BM=MN.,类型3特殊平行四边形中的旋转问题,综合素养拓训,发展核心素养,有助于学会用数学的眼光观察现实世界,所谓数学的眼光,就是数学抽象,而数学抽象中就包括几何直观.第1题在探究线段之间的数量关系时,注重对比训练,研究正方形中的解题思路在菱形中是否仍然适用,关注核心素养中的逻辑推理;第2题研究运动过程中的恒等关系,在直观想象中蕴含着抽象、推理,表明核心素养不是相互独立的,而是相互“渗透”的.,1.与正方形有关的探究性问题如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,连接PA,PC,PE,且PA=PE,PE交CD于点F.(1)证明:PC=PE.(2)求CPF的度数.(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当ABC=120时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.,答案,1.【解析】(1)在正方形ABCD中,AB=BC,ABP=CBP=45,在ABP和CBP中,AB=CB,ABP=CBP,PB=PB,ABPCBP,PA=PC.PA=PE,PC=PE.(2)由(1)知ABPCBP,BAP=BCP,DAP=DCP.PA=PE,DAP=E,DCP=E.CFP=EFD,180-PFC-PCF=180-DFE-E,CPF=EDF=90.,答案,(3)AP=CE.理由如下:在菱形ABCD中,AB=CB,ABP=CBP=60,BAD=BCD.在ABP和CBP中,AB=CB,ABP=CBP,PB=PB,ABPCBP,AP=CP,BAP=BCP,DAP=DCP.AP=EP,CP=EP,DAP=AEP,DCP=AEP.CFP=EFD,180-CFP-DCP=180-EFD-AEP,CPF=EDF=180-ADC=180-120=60,EPC是等边三角形,CP=CE,AP=CE.,2.正方形与图形旋转已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过点E作EFBD交BC于点F,连接DF,G为DF的中点,连接EG,CG.(1)如图1,求证:EG=CG.(2)将图1中的BEF绕点B按逆时针方向旋转45,如图2,取DF的中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.(3)将图1中的BEF绕点B逆时针旋转任意角度,如图3,取DF的中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明),答案,2.【解析】(1)在RtFCD中,G为DF的中点,CG=1 2 FD.同理,在RtDEF中,EG=1 2 FD,EG=CG.(2)(1)中的结论仍然成立.证明如下:连接AG,过点G作GMAD于点M,与EF的延长线交于点N,则AMN=ENM=EAM=90,四边形AENM为矩形.在DAG和DCG中,AD=CD,ADG=CDG,DG=DG,DAGDCG,AG=CG.在DMG和FNG中,DGM=FGN,DG=FG,MGD=NGF,DMGFNG,MG=NG.在矩形AENM中,AM=EN.在RtAMG和RtENG中,AM=EN,MG=NG,RtAMGRtENG,AG=EG.EG=CG.(3)(1)中的结论仍然成立.其他的结论还有EGCG.(答案不唯一),答案,1.B【解析】如图,A(-3,0),B(0,2),C(3,0),D(0,-2),OA=OC,OB=OD,四边形ABCD为平行四边形,又BDAC,四边形ABCD为菱形.故选B.,一、选择题1.2019广西北海期末平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3,0),B(0,2),C(3,0),D(0,-2),则四边形ABCD是()A.矩形B.菱形C.正方形D.以上都不对,答案,2.C【解析】四边形ABCD是矩形,AD=BC=4,BAD=90,又AB=3,BD=5.=1 2 BDAF=1 2 ABAD,AF=2.4.故选C.,2.2019江苏常州金坛区期中如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,AEBD于点F,则线段AF的长是()A.3B.2.5C.2.4D.2,答案,3.A【解析】四边形AEFG是正方形,AEF=90.四边形ABCD是平行四边形,ADBC,C=BAD,EAD=180-AEC=180-90-15=75,BAD=40+75=115,C=115.故选A.,3.如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上一点,以AE为边作正方形AEFG,若BAE=40,CEF=15,则C的度数是()A.115B.105C.75D.65,答案,4.A【解析】如图,连接AC,四边形ABCD是菱形,BC=AB=3.B=60,ABC是等边三角形,AC=AB=3,点F,G分别是AE,CE的中点,FG是ACE的中位线,FG=1 2 AC=3 2.故选A.,4.如图,在菱形ABCD中,B=60,AB=3,点E是BC边上的一个动点(点E与点C不重合),点F,G分别是AE,CE的中点,则线段FG的长为()A.3 2 B.3C.2 2 D.2 3,答案,5.C【解析】顺次连接平行四边形ABCD各边中点,利用三角形中位线性质可得,新的四边形是平行四边形.若ACBD,则利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”判定新的四边形是矩形;四边形ABCD是平行四边形,AO=OC,BO=DO,ABO的周长等于CBO的周长,AB=BC,根据等腰三角形的性质可知BOAC,BDAC,同可判定新的四边形是矩形;四边形ABCD是平行四边形,CBO=ADO,DAO=CBO,ADO=DAO,AO=OD,AC=BD,可利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定新的四边形是菱形,不符合题意;在平行四边形ABCD中,DAO=BAO,易得平行四边形ABCD是菱形,ACBD,同可判定新的四边形是矩形.符合题意.故选C.,5.2019上海普陀区二模如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,顺次连接平行四边形ABCD各边中点得到一个新的四边形,给出下列四个条件:ACBD;ABO的周长等于CBO的周长;DAO=CBO;DAO=BAO.如果从中选择一个条件可以使这个新的四边形成为矩形,那么这样的条件个数是()A.1B.2C.3D.4,答案,6.D【解析】四边形ABCD是矩形,DCB=ABC=90,BF与CF分别平分ABC和BCD,FCB=FBC=1 2 DCB=45,CF=BF,F=180-45-45=90.EBCF,CEBF,四边形BFCE是平行四边形,又CF=BF,四边形BFCE是菱形,又F=90,四边形BFCE是正方形;BE=CE,BE=BF,CF=BF,BF=CF=CE=BE,四边形BFCE是菱形,又F=90,四边形BFCE是正方形;BECF,CEBE,F=90,FBE=E=F=90,四边形BFCE是矩形,又BF=CF,四边形BFCE是正方形;CEBF,FBC=45,ECB=FBC=45,又BE=CE,EBC=ECB=45,FCE=FBE=90,又F=90,四边形BFCE是矩形,又BF=CF,四边形BFCE是正方形.能判定四边形BFCE是正方形的条件共有4个.故选D.,6.如图,在矩形ABCD内有一点F,BF与CF分别平分ABC和BCD,点E为矩形ABCD外一点,连接BE,CE.给出下列四个条件:BECF,CEBF;BE=CE,BE=BF;BECF,CEBE;BE=CE,CEBF.其中能判定四边形BFCE是正方形的共有()A.1个B.2个C.3个D.4个,答案,7.30【解析】四边形ABCD为菱形,BC=CD,BCA=DCA,又CE=CE,BECDEC,EDC=1.1+2=75,EDC+2=75,AED=EDC+2=75,BED=2AED=150,3=30.,二、填空题7.2019天津和平区一模如图,菱形ABCD中,点E是对角线AC上一点,BE的延长线交边CD于点F.若1+2=75,则3的度数为.,答案,8.,8.小明在探究“四边形的不稳定性”活动中,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,如图所示.扭动矩形框架,观察矩形ABCD的变化,有下列判断:四边形ABCD由矩形变为平行四边形;A,C两点之间的距离不变;四边形ABCD的面积不变;四边形ABCD的周长不变.其中正确的是.(填序号),答案,9.12【解析】如图,取CD的中点E,连接OE,AE,OA.AB=9,BC=6,四边形ABCD是矩形,CD=9,AD=6,又MON=90,OE=DE=1 2 CD=9 2,AE=2+2=15 2,OAOE+AE,当O,A,E三点共线时,点A到点O的距离最大,点A到点O的最大距离为 9 2+15 2=12.,9.如图,MON=90,矩形ABCD的顶点C,D分别在射线ON,OM上滑动,AB=9,BC=6,在滑动过程中,点A到点O的最大距离为.,答案,10.【解析】在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,连接PM,QN,若PM与QN均经过点O,则四边形MNPQ为平行四边形,此时若PM=QN,则四边形MNPQ为矩形;若PMQN,则四边形MNPQ为菱形.有的矩形不存在以点M,N,P,Q为顶点的正方形.故正确的结论是.,10.2019北京中考在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合).对于任意矩形ABCD,下面四个结论中,存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;存在无数个四边形MNPQ是矩形;存在无数个四边形MNPQ是菱形;至少存在一个四边形MNPQ是正方形.所有正确结论的序号是.,三、解答题11.2018新疆乌鲁木齐中考如图,在四边形ABCD中,BAC=90,E是BC的中点,ADBC,AEDC,EFCD于点F.(1)求证:四边形AECD是菱形.(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.,答案,11.【解析】(1)ADBC,AEDC,四边形AECD是平行四边形.在ABC中,BAC=90,E是BC的中点,AE=1 2 BC,CE=1 2 BC,AE=CE,四边形AECD是菱形.(2)如图,过点A作AHBC于点H.在ABC中,BAC=90,AB=6,BC=10,AC=2 2=10 2 6 2=8.由(1)知四边形AECD是菱形,DC=CE.S ABC=1 2 ABAC=1 2 BCAH,AH=24 5.S菱形AECD=CEAH=CDEF,CD=CE,EF=AH=24 5.,答案,12.【解析】(1)MEAO,MFBO,MEO=MFO=90.正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,EOF=90,四边形OEMF为矩形.(2)连接MO,边长为8的正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,OA=OB=4 2,由(1)知EF=MO,易知当M在AB的中点时,MO有最小值,即EF有最小值,此时MO=1 2 AB=4,EF的最小值为4.,12.2019江苏无锡期中如图,边长为8的正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是AB边上一动点,MEAO,MFBO.(1)求证:四边形OEMF为矩形.(2)连接EF,求EF的最小值.,13.如图1,在正方形ABCD中,点E为AB上的点(不与A,B重合),ADE与FDE关于DE对称,作射线CF,与DE的延长线相交于点G,连接AG.(1)当ADE=15时,求DGC的度数;(2)若点E在AB上移动,请你判断DGC的度数是否发生变化,若不变化,请证明你的结论;若会发生变化,请说明理由;(3)如图2,点F在对角线BD上,点M为DE的中点,连接AM,FM,请判断四边形AGFM的形状,并证明结论.,答案,13.【解析】(1)ADE=15,FDE=15,CDF=60.由对称可知AD=DF,DF=DC,DFC是等边三角形,CFD=60.CFD=DGC+FDE=15+DGC,DGC=45.(2)DGC的度数不变化.证明如下:ADE与FDE关于DE对称,AD=DF,ADE=FDE.设ADE=x,可得FDE=x,CDF=90-2x,DC=AD=DF,CFD=1 2 180-(90-2x)=45+x.CFD=DGC+FDE=x+DGC,x+DGC=45+x,DGC=45.(3)四边形AGFM是正方形.证明如下:DAE=DFE=90,点M为DE的中点,答案,AM=FM=DM=1 2 DE,ADM=DAM,MDF=DFM,又ADM=MDF=22.5,AME=FME=2ADM=2MDF=45,AMF=90.由(2)可知,DGC=45,FM=FG.在ADG与FDG中,=,=,=,ADGFDG,AG=FG,AM=MF=FG=AG,四边形AGFM是菱形,又AMF=90,四边形AGFM是正方形.,14.2019江苏南京秦淮区期末已知:如图,在ABCD中,G,H分别是AD,BC的中点,E,O,F均是对角线BD上的四等分点,顺次连接G,E,H,F.(1)求证:四边形GEHF是平行四边形.(2)当ABCD满足 条件时,四边形GEHF是菱形.(3)若BD=2AB,探究四边形GEHF的形状,并说明理由.当AB=2,ABD=120时,直接写出四边形GEHF的面积.,答案,14.【解析】(1)如图1,连接AC,易知AC与BD交于点O.四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD.E,O,F分别是对角线BD上的四等分点,E,F分别为OB,OD的中点,又G是AD的中点,GF为AOD的中位线,GFOA,GF=1 2 OA.同理,EHOC,EH=1 2 OC,EH=GF,EHGF,四边形GEHF是平行四边形.,答案,(2)ABBD连接GH,则AG=BH,AGBH,四边形ABHG是平行四边形,ABGH.ABBD,GHBD,GHEF.由(1)得,四边形GEHF是平行四边形,四边形GEHF是菱形.(3)四边形GEHF是矩形.理由如下:在ABCD中,由G,H分别是AD,BC的中点,易得GH=AB.BD=2AB,AB=1 2 BD=EF,GH=EF,由(1)得,四边形GEHF是平行四边形,四边形GEHF是矩形.,答案,3.如图2,作AMBD交DB的延长线于M,GNBD于N,则AMGN.G是AD的中点,GN是ADM的中位线,GN=1 2 AM.ABD=120,ABM=60,BAM=30,BM=1 2 AB=1,AM=3,GN=3 2.BD=2AB=4,EF=1 2 BD=2,SEFG=1 2 EFGN=1 2 2 3 2=3 2,S四边形=2SEFG=3.,