考研数学历年真题(2008-2017)年数学二.pdf

-1-2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若函数1 cos,0(),0 xxf xaxb x在 x=0 连续，则(A)12ab(B)12ab (C)0ab(D)2ab（2）设二阶可到函数()f x满足(1)(1)1,(0)1fff 且()0fx，则(A)11()0f x dx(B)12()0f x dx(C)0110()()f x dxf x dx(D)1110()()f x dxf x dx（3）设数列 nx收敛，则(A)当limsin0nnx时，lim0nnx(B)当lim()0nnnnxxx时，则lim0nnx(C)当2lim()0nnnxx,lim0n(D)当lim(sin)0nnnxx时，lim0nnx（4）微分方程248(1 cos2)xyyyex的特解可设为ky(A)22(cos2sin2)xxAeeBxCx(B)22(cos2sin2)xxAxeeBxCx(C)22(cos2sin2)xxAexeBxCx(D)22(cos2sin2)xxAxexeBxCx（5）设),(yxf具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y，都有,0),(,0),(xyxfxyxf则(A)(0,0)(1,1)ff(B)(0,0)(1,1)ff(C)(0,1)(1,0)ff(D)(0,1)(1,0)ff（6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线 1vv t（单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线 2vvt，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位:s）,则(A)010t(B)01520t(C)025t(D)025t-2-（7）设A为三阶矩阵，123(,)P 为可逆矩阵，使得1000010002P AP，则123(,)A (A)12(B)232(C)23(D)122（8）已知矩阵200021001A，210020001B，100020000C，则(A)A 与 C 相似，B 与 C 相似(B)A 与 C 相似，B 与 C 不相似(C)A 与 C 不相似，B 与 C 相似(D)A 与 C 不相似，B 与 C 不相似二、填空题：二、填空题：914 题，每小题题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.（9）曲线xxy2arcsin1的斜渐近线方程为（10）设函数()yy x由参数方程sintxteyt确定，则202td ydx（11）20ln(1)1xdxx=（12）设函数,fx y具有一阶连续偏导数，且,1,0,00yydfx yye dxxy e dy f，则,fx y=（13）110tanyxdydxx（14）设矩阵41212311Aa的一个特征向量为112 ，则a三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）求030limxtxxte dtx（16）（本题满分 10 分）设函数,f u v具有 2 阶连续偏导数，y,xf ecosx,求0dydxx,220d ydxx-3-（17）（本题满分 10 分）求21limln 1nnkkknn（18）（本题满分 10 分）已知函数)(xy由方程023333yxyx确定，求)(xy的极值（19）（本题满分 10 分）设函数()f x在0,1上具有 2 阶导数，0()(1)0,lim0 xf xfx，证明（1）方程()0f x 在区间(0,1)内至少存在一个实根；（2）方程2)()()(xfxfxf 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.（20）（本题满分 11 分）已知平面区域22,2Dx yxyy，计算二重积分21Dxdxdy（21）（本题满分 11 分）设()y x是区间3(0,)2内的可导函数，且(1)0y，点P是曲线:()L yy x上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0,)PY，法线与x轴相交于点(,0)PX，若pPXY，求L上点的坐标(,)x y满足的方程。（22）（本题满分 11 分）三阶行列式123(,)A 有 3 个不同的特征值，且3122（1）证明()2r A（2）如果123求方程组Axb的通解（23）（本题满分 11 分）设二次型132221232121 323(,)2282f x x xxxaxx xx xx x在正交变换xQy下的标准型为221122yy求a的值及一个正交矩阵Q.-4-2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、一、选择：选择：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.（1）设1(cos1)axx，32ln(1)axx，331 1ax.当0 x时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（）（A）123,a a a.（B）231,a a a.（C）213,a a a.（D）321,a a a.（2）已知函数2(1),1,()ln,1,xxf xxx则()f x的一个原函数是（）（A）2(1),1.()(ln1),1.xxF xxxx（B）2(1),1.()(ln1)1,1.xxF xxxx（C）2(1),1.()(ln1)1,1.xxF xxxx（D）2(1),1.()(ln1)1,1.xxF xxxx（3）反常积分1021xe dxx，1+201xe dxx的敛散性为（）（A）收敛，收敛.（B）收敛，发散.（C）收敛，收敛.（D）收敛，发散.（4）设函数()f x在(,)内连续，求导函数的图形如图所示，则（A）函数()f x有 2 个极值点，曲线()yf x有 2 个拐点.（B）函数()f x有 2 个极值点，曲线()yf x有 3 个拐点.（C）函数()f x有 3 个极值点，曲线()yf x有 1 个拐点.（D）函数()f x有 3 个极值点，曲线()yf x有 2 个拐点.（5）设函数()(1,2)if x i 具有二阶连续导数，且)2,1(0)(0 ixfi，若两条曲线()(1,2)iyf x i在点00(,)xy处具有公切线()yg x，且在该点处曲线1()yf x的曲率大于曲线2()yfx的曲率，则在0 x的某个领域内，有（）（A）12()()()f xfxg x（B）21()()()fxf xg x（C）12()()()f xg xfx（D）21()()()fxg xf x-5-（6）已知函数(,)xef x yxy，则（）（A）0 xyff（B）0 xyff（C）xyfff（D）xyfff（7）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似（8）设二次型222123123122313(,)()222f x xxa xxxx xx xx x的正、负惯性指数分别为 1,2，则（）（A）1a（B）2a （C）21a（D）1a 与2a 二、填空题：二、填空题：914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。分。（9）曲线322arctan(1)1xyxx的斜渐近线方程为_.（10）极限2112lim(sin2sinsin)nnnnnnn_.（11）以2xyxe和2yx为特解的一阶非齐次线性微分方程为_.（12）已知函数()f x在(,)上连续，且20()(1)2()dxf xxf tt，则当2n时，()(0)nf_.（13）已知动点P在曲线3yx上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时间的变化率为常数0v，则当点P运动到点(1,1)时，l对时间的变化率是_.（14）设矩阵111111aaa与110011101等价，则_.a 解答题：1523 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）求极限410)sin22(coslimxxxxx.（16）（本题满分 10 分）设函数1220()(0)f xtx dt x，求()fx并求()f x的最小值.-6-（17）（本题满分 10 分）已知函数(,)zz x y由方程22()ln2(1)0 xyzzxy确定，求(,)zz x y的极值.（18）（本题满分 10 分）设D是由直线1y，yx，yx 围成的有界区域，计算二重积分2222.Dxxyydxdyxy（19）（本题满分 10 分）已知1()xy xe，2()()xyxu x e是二阶微分方程(21)(21)20nxyxyy的两个解，若(1)ue，(0)1u，求()u x，并写出该微分方程的通解。（20）（本题满分 11 分）设D是由曲线21(01)yxx与33cos02sinxttyt 围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。（21）（本题满分 11 分）已知()f x在30,2上连续，在3(0,)2内是函数cos23xx的一个原函数，且(0)0f。（）求()f x在区间30,2上的平均值；（）证明()f x在区间3(0,)2内存在唯一零点。-7-（22）（本题满分 11 分）设矩阵11110111aAaaa，0122a，且方程组Ax无解。（）求a的值；（）求方程组TTA AxA的通解。（23）（本题满分 11 分）已知矩阵011230000A（）求99A（）设 3 阶矩阵123(,)B 满足2BBA。记100123(,)B，将123,分别表示为123,的线性组合。-8-2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择一、选择题题:18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.(1)下列反常积分中收敛的是（）(A)(B)(C)(D)(2)函数20sin()lim(1)xtttf xx在(,)内（）（A）连续（B）有可去间断点（C）有跳跃间断点(D)有无穷间断点(3)设函数1cos,0()0,0 xxf xxx(0,0)，若()f x在0 x 处连续，则（）（A）1(B)01(C)2(D)02(4)设函数()f x在(,)连续，其二阶导函数()fx的图形图所示，则曲线()yf x的拐点个数为（）（A）0(B)1(C)2(D)3(5).设函数(uv)f，满足22(,)yf xyxyx，则11uvfu与11uvfv依次是（）（A）12,0(B)0，12（C）-12,0(D)0,-12(6).设D是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yx yx围成的平面区域，函数(,)f x y在D上连续，则(,)Df x y dxdy=（）-9-（A）12sin2142sin2(cos,sin)df rrdr（B）1sin22142sin2(cos,sin)df rrdr（C）13sin2142sin2(cos,sin)df rrdr（D）1sin23142sin2(cos,sin)df rrdr(7)设矩阵A=211112a14a，b=21dd,若集合=1,2，则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件为（）（A）,ad(B),ad(C),ad(D),ad(8)设二次型123(,)f x xx在正交变换xPy下的标准形为2221232,yyy其中123P=(e,e,e)，若132(,)Qee e，则123(,)f x xx在正交变换Qyx 下的标准形为（）(A):2221232yyy(B)2221232yyy(C)2221232yyy(D)2221232yyy二、填空题：二、填空题：914 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分.请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.(9)设2231arctan,3txtd ydxytt则（10）函数2()2xf xx在0 x 处的n阶导数()(0)nf（11）设函数()f x连续，20()(),xxxf t dt若(1)1，(1)5，则(1)f（12）设函数()yy x是微分方程20yyy的解，且在0 x 处()y x取值 3，则()y x=（13）若函数(,)zz x y由方程231xyzexyz确定，则(0,0)dz=（14）设 3 阶矩阵A的特征值为 2，-2,1，2BAAE，其中E为 3 阶单位矩阵，则行列式B=三、解答题：三、解答题：15152323 小题小题,共共 9494 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分 10 分）设函数()ln(1)sinf xxxbxx，2()g xkx，若()f x与()g x在0 x 时是等价无穷小，求,a b k的值。-10-16、（本题满分 10 分）设0A，D是由曲线段sin(0)2yAxx及直线,2yo x所形成的平面区域，1V，2V分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积，若12VV，求A的值。17、（本题满分 10 分）已知函数(,)f x y满足(,)2(1)xxyfx yye，(,0)(1)xxfxxe，yyyf2),0(2求(,)f x y的极值。18、（本题满分 10 分）计算二重积分()Dx xy dxdy，其中222(,)2,Dx y xyyx。19、（本题满分 10 分）已知函数2121()11xxf xt dttdt，求()f x零点的个数。20、（本题满分 11 分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 1200C的物体在 200C恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至 300C，若要使物体的温度继续降至 210C，还需冷却多长时间？-11-21、（本题满分 11 分）已知函数()f x在区间,a 上具有 2 阶导数，()0,()0,f afx0)(xf设,ba曲线()yf x在点(,()b f b处的切线与x轴的交点是0(,0)x，证明：0axb。22、（本题满分 11 分）设矩阵111100aAaa,且OA 3.（1）求a的值；（2）若矩阵X满足EEAXAAXXAX,22为 3 阶单位矩阵，求X。23、（本题满分 11 分）设矩阵02313312Aa，相似于矩阵12000031Bb，（1）求ba,的值（2）求可逆矩阵P，使1P AP为对角矩阵。-12-2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.(1)当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是：（）(A)(B)(C)(D)(2)下列曲线中有渐近线的是：（）(A)(B)(C)(D)(3)设函数具有二阶导数，则在区间上：（）(A)当时，(B)当时，(C)当时，(D)当时，(4)曲线上对应于的点处的曲率半径是：（）(A)(B)(C)(D)(5)设函数，若，则（）(A)(B)(C)(D)(6)设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则：（）(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B)的最大值和最小值都在的内部上取得-13-(C)的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得(D)的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得(7)行列式（）(A)(B)(C)(D)(8)设均为 3 维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的：（）(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)_.(10)设是周期为的可导奇函数，且，则_.(11)设是由方程确定的函数，则_.(12)曲线L的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是_.(13)一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度,则该细棒的质心坐标_.(14)设二次型的负惯性指数为 1，则的取值范围为_.三、解答题：1523 小题,共 94 分.将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)求极限-14-(16)(本题满分 10 分)已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.(17)(本题满分 10 分)设平面区域计算.(18)(本题满分 10 分)设函数具有二阶连续导数，满足，若，求的表达式.(19)(本题满分 10 分)设函数的区间上连续，且单调增加，.证明：(I),(II).-15-(20)(本题满分 11 分)设函数，定义函数列，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限.(21)(本题满分 11 分)已知函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.(22)(本题满分 11 分)设矩阵，为 3 阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵B.(23)(本题满分 11 分)证明阶矩阵与相似.-16-2012013 3 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学二二试题试题一、选择题一、选择题18 小题每小题小题每小题 4 分，共分，共 32 分分设设2)(),(sin1cosxxxx，当，当0 x时，时，x（）（A）比x高阶的无穷小量.（B）比x低阶的无穷小量.（C）与x同阶但不等价无穷小量.（D）与x等价无穷小量.2已知函数 xfy 是由方程1lncosxyxy确定，则12limnfnn（）（A）2（B）1（C）-1（D）-2设函数，xdttfxF0)()(则（）（）x为)(xF的跳跃间断点（）x是函数)(xF的可去间断点（）)(xF在x处连续但不可导（）)(xF在x处可导设函数exxxexxxf,ln11,)1(1)(11，且反常积分dxxf1)(收敛，则（）（A）2（B）2a（C）02a（D）20设xyfxyz，其中函数f可微，则yzxzyx（）（A）)(2xyyf（B）)(2xyyf（C）)(2xyfx（D）)(2xyfx6设kD是圆域1|),(22yxyxD的第k象限的部分，记）（4,3,2,1)(kdxdyxyIkDk，则（）（A）01I（B）02I（C）03I（D）04I7设，均为n阶矩阵，若，且可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价8矩阵1111aabaa与矩阵00000002b相似的充分必要条件是（A）2,0ba（B）0a，b为任意常数（C）0,2ba（D）2a，b为任意常数-17-二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分分.把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上）9xxxx10)1ln(2lim10设函数dtexfxt11)(，则)(xfy 的反函数)(1yfx在0y处的导数0|ydydx11设封闭曲线 L 的极坐标方程为663cosr，则 L 所围成的平面图形的面积为12曲线上21lnarctantytx上对应于1t的点处的法线方程为13已知xxxxxxeyxeeyxeey2322231,是某二阶常系数非齐次线性微分方程三个解，则该方程满足条件的解为y14设 ijaA 是三阶非零矩阵，A为A的行列式，ijA为元素ija的代数余子式，若，则三、解答题三、解答题15（本题满分 10 分）当0 x时，xxx3cos2coscos1与nax是等价无穷小，求常数na与的值16（本题满分 10 分）设 D 是由曲线31xy，直线ax)0(a及x轴所转成的平面图形，yxVV,分别是 D 绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若yxVV 10，求a的值17（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由直线8,3,3yxxyyx所围成，计算Ddxdyx218（本题满分 10 分）设奇函数)(xf在1,1上具有二阶导数，且1)1(f，证明：-18-（1）存在)1,0(，使得 1f；（2）存在)1,1(，使得1)()(ff19（本题满分 10 分）求曲线)0,0(133yxyxyx上的点到坐标原点的最长距离和最短距离20（本题满分 11）设函数xxxf1ln)(求)(xf的最小值；设数列 nx满足11ln1nnxx，证明极限nnxlim存在，并求此极限21（本题满分 11）设曲线 L 的方程为)1(ln21412exxxy（1）求 L 的弧长（2）设 D 是由曲线 L，直线exx,1及x轴所围成的平面图形，求 D 的形心的横坐标22本题满分 11 分）设bBaA110,011，问当ba,为何值时，存在矩阵 C，使得BCAAC，并求出所有矩阵 C23（本题满分 11 分）设二次型23322112332211321)()(2),(xbxbxbxaxaxaxxxf记321321,bbbaaa（1）证明二次型f对应的矩阵为TT2；（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为22212yy-19-2012012 2 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学二二试题试题一一、选择题选择题:1 1-8 8 小题小题,每小题每小题 4 4 分分,共共 3232 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的只有一个选项符合题目要求的,请将所选项请将所选项前的字母填在前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.(1)曲线221xxyx的渐近线条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数2()(1)(2)()xxnxf xeeen，其中n为正整数,则(0)f()(A)1(1)(1)!nn(B)(1)(1)!nn(C)1(1)!nn(D)(1)!nn(3)设1230(1,2,3),nnnanSaaaa，则数列nS有界是数列 na收敛的()(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)既非充分也非必要条件(4)设20sin d,(1,2,3),kxkIex x k则有()(A)123III(B)321III(C)231III(D)213III(5)设函数(,f x y）为可微函数，且对任意的,x y都有(,)(,)0,0,x yx yxy则使不等式成立的一个充分条件是()(A)1212,xxyy(B)1212,xxyy(C)1212,xxyy(D)1212,xxyy(6)设区域D由曲线sin,12yx xy 围成，则5(1)d dDx yx y()(A)(B)2(C)-2(D)-(7)设1100c,2201c,3311c,4411c,其中1234,c c c c为任意常数，则下列向量组线性相关的为(A)123,(B)124,(C)134,(D)234,-20-(8)设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵，且1100010002P AP.若123,P ，1223,Q 则1Q AQ(A)100020001(B)100010002(C)200010002(D)200020001二、填空题二、填空题：9 9-1414 小题小题,每小题每小题 4 4 分分,共共 2424 分分.请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.(9)设()yy x是由方程21yxye 所确定的隐函数，则202xd ydx.(10)22222111lim12nnnnnn.(11)设1ln,zfxy其中函数 f u可微，则2zzxyxy.(12)微分方程2d3d0y xxyy满足条件11xy的解为y.(13)曲线20yxx x上曲率为22的点的坐标是.(14)设A为3阶矩阵，=3A，*A为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则*BA.三、解答题三、解答题：1515-2323 小题小题,共共 9494 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数 11sinxf xxx，记 0limxaf x，(I)求a的值;(II)若0 x 时，f xa与kx是同阶无穷小，求常数k的值.(16)(本题满分 10 分)求函数222,xyf x yxe的极值.(17)(本题满分 12 分)过(0,1)点作曲线:lnL yx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.-21-(18)(本题满分 10 分)计算二重积分dDxy，其中区域D为曲线1cos0r 与极轴围成.(19)(本题满分 10 分)已知函数()f x满足方程()()2()0fxfxf x及()()2xfxf xe,(I)求()f x的表达式;(II)求曲线220()()dxyf xftt的拐点.(20)(本题满分 10 分)证明21lncos112xxxxx,(11)x.(21)(本题满分 10 分)(I)证明方程1xxxnn-1+1n 的整数，在区间1,12内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为nx，证明limnnx存在，并求此极限.(22)(本题满分 11 分)设100010001001aaAaa，1100(I)计算行列式A；(II)当实数a为何值时，方程组Ax有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分 11 分)已知1010111001Aaa，二次型123,TTfx xxxA A x的秩为 2，(I)求实数a的值；(II)求正交变换xQy将f化为标准形.-22-2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学二二试题试题一、一、选择题：选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）已知当0 x时，函数xxxf3sinsin3)(与kcx是等价无穷小，则（）（A）4,1ck（B）4,1ck（C）4,3ck（D）4,3ck（2）设函数)(xf在0 x处可导，且0)0(f，则3320)(2)(limxxfxfxx（）（A）)0(2 f（B）)0(f（C）)0(f（D）0（3）函数)3)(2)(1(ln)(xxxxf的驻点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（4）微分方程)0(2 xxeeyy的特解形式为（）（A）)(xxeea（B）)(xxeeax（C）)(xxbeaex（D）)(2xxbeaex（5）设函数)(xf，)(xg均有二阶连续导数，满足0)0(f，0)0(g，且0)0()0(gf则函数)()(ygxfz 在点)0,0(处取得极小值的一个充分条件是（）（A）0)0(f，0)0(g（B）0)0(f，0)0(g（C）0)0(f，0)0(g（D）0)0(f，0)0(g（6）设40sinlndxxI，40cotlndxxJ，40coslndxxK，则I，J，K的大小关系为（）（A）KJI（B）JKI（C）KIJ（D）IJK（7）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 列加到第 1 列得矩阵B，再交换B的第 2 行与第 3 行得单位矩阵。记1000110011P，0101000012P，则A=（）（A）21PP（B）211PP（C）12PP（D）112PP-23-（8）设),(4321A是 4 阶矩阵，*A为A的伴随矩阵。若T)0,1,0,1(是方程组0Ax的一个基础解系，则0*xA的基础解系可为（）（A）31,（B）21,（C）321,（D）432,二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上。（9）xxx10221lim。（10）微分方程xeyyxcos满足条件0)0(y的解为y。（11）曲线xtdty0tan)40(x的弧长s。（12）设函数,0,)(kxexf,0,0 xx0，则dxxxf)(。（13）设平面区域D由直线xy，圆yyx222及y轴所围成，则二重积分Dxyd。（14）二次型3231212322213212223),(xxxxxxxxxxxxf，则f的正惯性指数为。三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分。请将解答写在分。请将解答写在答题纸答题纸指定位置上，解答应字说明证明过程或演算步骤。指定位置上，解答应字说明证明过程或演算步骤。（15）（本题满分 10 分）已知函数xdttxFx02)1ln()(，设0)(lim)(lim0 xFxFxx，试求的取值范围。（16）（本题满分 11 分）设函数)(xyy 由参数方程3131,313133ttyttx确定，求)(xyy 的极值和曲线)(xyy 的凹凸区间及拐点。（17）（本题满分 9 分）设函数)(,(xygxyfz，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数)(xg可导，且在1x处取得极值1)1(g，求1,12yxyxz。-24-（18）（本题满分 10 分）设函数)(xy具有二阶导数，且曲线)(:xyyl与直线xy 相切于原点，记为曲线l在点),(yx处切线的倾角，若dxdydxd，求)(xy的表达式。（19）（本题满分 10 分）（I）证明：对任意的正整数n，都有nnn111ln11成立。（II）设),2,1(ln1211nnnan，证明数列 na收敛。（20）（本题满分 11 分）一 容 器 的 内 侧 是 由 图 中 曲 线 绕y轴 旋 转 一 周 而 成 的 曲 面，该 曲 线 由)21(222yyyx与)21(122yyx连接而成。（I）求容器的容积；（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m，重力加速度为2smg，水的密度为3310mkg）-25-（21）（本题满分 11 分）已 知 函 数),(yxf具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，且0),1(yf，0)1,(xf，Dadxdyyxf),(，其 中10,10),(yxyxD，计算二重积分 DxydxdyyxfxyI),(。（22）（本题满分 11 分）设 向 量 组T)1,0,1(1，T)1,1,0(2，T)5,3,1(3不 能 由 向 量 组T)1,1,1(1，T)3,2,1(2，Ta),4,3(3线性表示。（I）求a的值；（II）将321,用321,线性表示。（23）（本题满分 11 分）设A为 3 阶实对称矩阵，A的秩为 2，且A101101101101。（I）求A的所有的特征值与特征向量；（II）求矩阵A。-26-2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学二二试题试题一一、选择题选择题(A)的无穷间断点的个数为函数222111)(xxxxxf（）A.0B.1C.2D.32.设21,yy是一阶线性非齐次微分方程)()(xqyxpy的两个特解，若常数,使21yy是该方程的解，21yy是该方程对应的齐次方程的解，则（）A.21,21B.21,21C.31,32D.32,323.aaxayxy相切，则与曲线曲线)0(ln2（）A.4eB.3eC.2eD.e4.设,m n为正整数,则反常积分210ln(1)mnxdxx的收敛性（）A.仅与m取值有关B.仅与n取值有关C.与,m n取值都有关D.与,m n取值都无关5.设函数(,)zz x y由方程(,)0y zFx x确定,其中F为可微函数,且20,F 则zzxyxy=（）AxBzCxDz6.(4)2211lim()()nnxijnni nj=（）A12001(1)(1)xdxdyxyB1001(1)(1)xdxdyxyC11001(1)(1)dxdyxyD112001(1)(1)dxdyxy7.设向量组可由向量组线性表示，下列命题正确的是:（）A 若向量组 I 线性无关，则sr B 若向量组 I 线性相关，则 rsC 若向量组 II 线性无关，则sr D 若向量组 II 线性相关，则 rs8.设A为 4 阶对称矩阵,且20,AA若A的秩为 3,则A相似于（）-27-9.A1110B1110C1110D1110二二、填空题填空题9.三阶常系数线性齐次微分方程022 yyyy的通解 y=_10.曲线1223xxy的渐近线方程为_11.函数_)0(0)21ln()(nynxxy阶导数处的在12._0的弧长为时，对数螺线当er 13.已知一个长方形的长l以 2cm/s 的速率增加，宽w以 3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为_14.设 A，B 为 3 阶矩阵，且_,2,2,311BABABA则三三、解答题解答题15.的单调区间与极值。求函数2212)()(xtdtetxxf16.(1)比较10ln ln(1)nttdt与10ln(1,2,)ntt dt n 的大小,说明理由.(2)记10ln ln(1)(1,2,),nnuttdt n求极限lim.nxu17.设函数)(xfy 由参数方程。求函数，已知，阶导数，且具有所确定，其中)(,)1(436)1(25)1(2)()1(),(,2222ttdxydtttyttx18.一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a,短轴为 2b 的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为b23时，计算油的质量。-28-（长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为单位为3/mkg.）19.0,.05124),(222222ubyxayxbayuyxuxuyxfu下简化的值，使等式在变换确定且满足等式具有二阶连续偏导数，设函数20.40,sec0),(D,2cos1sin22rrdrdrrID其中计算二重积分21.设函数 f(x)在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=31,证明：存在.)()(),1,21(),21,0(22ff使得22.的通解。求方程组、）求（个不同的解。存在已知线性方程组设bAxabAxabA)2(.12.11,110101123.设0431410aaA，正交矩阵Q使得AQQT为对角矩阵，若Q的第一列为T)1,2,1(61，求 a、Q.-29-2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内项前的字母填在题后的括号内.（1）函数 3sinxxf xnx的可去间断点的个数，则（）A1.B2.C3.D无穷多个.（2）当0 x 时，sinf xxax与 2ln 1g xxbx是等价无穷小，则（）A11,6ab.B11,6ab.C11,6ab .D11,6ab.（3）设函数,zf x y的全微分为dzxdxydy，则点0,0（）A不是,f x y的连续点.B不是,f x y的极值点.C是,f x y的极大值点.D是,f x y的极小值点.（4）设函数,f x y连续，则222411,yxydxf x y dydyf x y dx（）A2411,xdxf x y dy.B241,xxdxf x y dy.C2411,ydyf x y dx.D.221,ydyf x y dx（5）若 fx不变号，且曲线 yf x在点1,1上的曲率圆为222xy，则 f x在区间1,