学海在线资源中心shop174248478.taobao.com二项式定理编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【要点梳理】要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n,都有：nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)((*Nn)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做nba)(的二项展开式。式中的rnrrnCab做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1rnrrrnTCab，其中的系数rnC（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，2．二项式(a+b)n的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为rnC，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)nnnrrnrrnnnnnnnabCaCabCabCb(*Nn)②122(1)1nrrnnnnxCxCxCxx要点二、二项展开式的通项公式二项展开式的通项：-1rnrrrnTCab（nr,,2,1,0）公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是rnC；②字母b的次数和组合数的上标相同；③a与b的次数之和为n。要点诠释：（1）二项式(a+b)n的二项展开式的第r+1项rnrrnCab和(b+a)n的二项展开式的第r+1项rnrrnCba是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n这个标准形式下而言的，如(a－b)n的二项展开式的通项是1(1)rrnrrrnTCab学海在线资源中心shop174248478.taobao.com（只需把－b看成b代入二项式定理）。要点三：二项式系数及其性质1.杨辉三角和二项展开式的推导。在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数。nba)(展开式中的二项式系数,当n依次取1,2,3,…时,如下表所示:1)(ba………………………………………112)(ba……………………………………1213)(ba…………………………………13314)(ba………………………………146415)(ba……………………………151010516)(ba…………………………1615201561………………上表叫做二项式系数的表,也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质。表中每行两...
