《数学分析》教案第十五章Fourier级数教学目的：1.明确认识三角级数的产生及有关概念；2.理解以为周期的函数的Fourier级数的有关概念、定义和收敛定理；3.明确2L为周期的函数的Fourier级数是为周期的函数的Fourier级数的推广，并理解奇、偶函数的Fourier级数和Fourier级数的收敛定理。教学重点难点：本章的重点是将一个函数展开成Fourier级数；难点是Fourier级数的收敛性的判别。教学时数：10学时§1Fourier级数一．三角级数与正交函数系.1．背景：⑴波的分析：频谱分析.基频().倍频.⑵函数展开条件的减弱:积分展开.⑶中用Descates坐标系建立坐标表示向量思想的推广:调和分析简介:十九世纪八十年代法国工程师Fourier建立了Fourier分析理论的基础.2.三角级数的一般形式:一般的三角级数为.由于,-1-《数学分析》教案设,得三角级数的一般形式3.三角级数的收敛性:Th1若级数收敛,则级数在R内绝对且一致收敛.证用M判别法.4.三角函数正交系统:（1.）内积和正交:由R中的内积与正交概念引入.设函数和在区间上(R)可积.定义内积为.当时,称函数和在区间上正交.函数的正交性与区间有关.例如函数和在区间上并不正交(因为),但在区间却是正交的.（2）.正交函数系统:标准正交系(幺正系),完全系.三角函数系统-2-《数学分析》教案是区间上的正交系统.验证如下:,;,对且,有和.该系统不是标准正交系,因为,.因此,三角函数系统是标准正交系.（与R中的坐标系比较）二.以为周期函数的Fourier级数：1．三角级数的系数与其和函数的关系：-3-《数学分析》教案Th2若在整个数轴上且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式，，证P642．Fourier系数和Fourier级数：Euler―Fourier公式：设函数在区间上（R）可积，称公式，，为Euler―Fourier公式.称由Euler―Fourier公式得到的和为函数的Fourier系数.并称以Fourier系数和为系数的三角级数为函数的Fourier级数,记为-4-《数学分析》教案～例1,.求函数的Fourier级数.解是上的奇函数,;.因此,～.例2设函数满足条件(称满足该条件的函数为反周期函数).问这种函数在区间内的Fourier系数具有什么特性.解.而.因此,.时,,;-5-《数学分析》教案同理得.三.收敛定理:1.按段光滑函数:.定义若的导函数在区间上连续,则称函数在区间上光滑.若函数在区间上至多有有限个第一类间断点,且仅在区间上有限个点处不连续且为第一类间断点,则称是区间上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质:设函数在区间上按段光滑,则⑴在区间上可积;⑵对,都存在,且有,(用Lagrange中...
