用尺规作三角形及三角形全等应用（提高）知识讲解.doc

馨雅资源网 用尺规作三角形及三角形全等应用（提高） 责编：康红梅 【学习目标】 1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形； 2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等； 3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力. 【要点梳理】 要点一、基本作图 1.尺规作图的定义 利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图. 要点诠释： 　　尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度. 2.常见基本作图 常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形. 要点诠释： 1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图. 要点二、三角形全等的实际应用 在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决. 【典型例题】 类型一、基本作图 1、作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹） 如图，已知，∠α、∠β． 求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β． 【思路点拨】先作∠BOC=∠β，再以OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠β，再以OB为一边，在∠BOD的外侧作∠AOB=∠α，∠AOD即是所求． 【答案与解析】 解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分． 【总结升华】此题主要考查作一个角等于已知角的综合应用． 举一反三： 【变式】（2015•湖州模拟）请把下面的直角进行三等分．（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】 解： （1）以点B为一顶点作等边三角形； （2）作等边三角形点B处的角平分线． 2、（2015•宝鸡校级模拟）如图，△ABC，用尺规作图作角平分线CD．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【思路点拨】以C为圆心，任意长为半径画弧分别交CA、CB于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结CP并延长交BA于点D． 【解析】 解：如图所示：DC即为所求． 【总结升华】此题主要考查了角平分线的做法，熟练掌握基本作图方法是解题关键． 类型二、作三角形 3、已知线段b和∠α，用尺规作一个三角形，使它的两边长分别为b和2b，且这两条边的夹角等于∠α．（先填空，再根据步骤依次作出图形，保留作图痕迹） 作法： 作射线OM； 在射线OM上截取OA=　 　． 作∠　 =∠α 在射线ON上截取OB=　 　． 连接　 　． 所以△AOB为所求． 【思路点拨】运用尺规作图的方法，先在已知角的两边取OA=B，OB=2b，连接AB，即可得出答案． 【答案与解析】 解：作图如图所示： 作射线OM； 在射线OM上截取OA=b， 作∠AOB=∠α 在射线ON上截取OB=2b， 连接AB， 所以△AOB为所求； 故答案为：b，AOB，2b，AB． 【总结升华】此题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是在已知角的两边分别取OA=b，OB=2B，都是基本作图，需熟练掌握． 举一反三： 【变式】已知△ABC，求作一个三角形，使其与已知△ABC全等，并写出作图全等的依据．（用尺规画图，保留必要的画图痕迹） 【答案】先作出∠MEN=∠ABC，然后在变EM、EN上截取DE=AB，EF=BC，连接DF，即可得到△ABC的全等三角形； 如图所示，△DEF即为所求作的三角形，依据为SAS； 类型三、三角形全等的实际应用 4、如图为紫舞公园中的揽月湖，现在测量揽月湖两旁A、B两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据三角形全等的知识，用几根足够长的绳子及标杆为工具，设计一种测量方案． 要求：（1）画出设计的测量示意图； （2）写出测量方案的理由． 【思路点拨】（1）本题属于主观性试题，有多种方案，我们可以构造8字形的全等三角形来测得揽月湖的长度（如下图）； （2）根据三角形全等的证明得出对应边相等即可得出答案． 【答案与解析】 解：（1）如图所示； 分别以点A、点B为端点，作AQ、BP， 使其相交于点C， 使得CP=CB，CQ=CA，连接PQ， 测得PQ即可得出AB的长度． （2）理由：由上面可知：PC=BC，QC=AC， 又∠PCQ=∠BCA， ∴在△PCQ与△BCA中， ， ∴△PCQ≌△BCA（SAS）， ∴AB=PQ． 【总结升华】此题考查了全等三角形的应用与证明；此题带有一定主观性，学生要根据已知知识对新问题进行探索和对基础知识进行巩固，这种做法较常见，要熟练掌握． 举一反三 【变式】我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．你知道△AED≌△AFD的理由吗？（　　） A．边角边　　　B．角边角　　C．边边边　　D．角角边 【答案】C； 学魁网