学业分层测评（十三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立【解析】根据题中条件可知：由f(k)≥k2，必能推得f(k＋1)≥(k＋1)2，但反之不成立，因为D中f(4)＝25＞42，故可推得k≥4时，f(k)≥k2，故只有D正确．【答案】D2．用数学归纳法证明“对于任意x＞0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()A．n0＝1B．n0＝2C．n0＝1,2D.以上答案均不正确【解析】需验证：n0＝1时，x＋≥1＋1成立．【答案】A3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A．12B．13C．14D.不存在【解析】令f(n)＝＋＋…＋，易知f(n)是单调递增的，∴f(n)的最小值为f(2)＝＋＝.依题意>，∴m<14.因此取m＝13.【答案】B5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＜(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了B中两项但减少了一项D．以上各种情况均不对【解析】 n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，∴增加了两项，，少了一项.【答案】C二、填空题6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为________．【解析】当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．【答案】21＋1≥12＋1＋27．证明＜1＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，要证明的式子为________．【解析】当n＝2时，要证明的式子为2＜1＋＋＋＜3.【答案】2＜1＋＋＋＜38．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中，类似成立的不等式为________．【解析】由题中已知不等式可猜想：＋＋＋…＋≥(n≥3且n∈N＋)．【答案】＋＋＋…＋≥(n≥3且n∈N＋)三、解答题9．已知数列{an}的前n项和为Sn，...
