1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数[学习目标]1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．[知识链接]以前，我们用定义来判断函数的单调性．在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如何利用导数来判断函数的单调性？答根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．[预习导引]函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0要点一利用导数判断函数的单调性例1证明：函数f(x)＝在区间上单调递减．证明f′(x)＝，又x∈，则cosx<0，sinx＞0，∴xcosx－sinx<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在上是减函数．规律方法关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.跟踪演练1证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．证明 f(x)＝，∴f′(x)＝＝.又00，故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数．要点二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(00得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由f′(x)＜0解得－30，即2·＞0，解得－＜x＜0或x＞.又 x＞0，∴x＞.令f′(x)＜0，即2·＜0，解得x＜－或0＜x＜.又 x＞0，∴0＜x＜.∴f(x)的单调递增区...
