2.2.2反证法[学习目标]1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．[知识链接]1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？答这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．2．反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．[预习导引]1．反证法定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．要点一用反证法证明“至多”“至少”型命题例1已知x，y>0，且x＋y>2.求证：，中至少有一个小于2.证明假设，都不小于2，即≥2，≥2. x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．∴，中至少有一个小于2.规律方法对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．跟踪演练1已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明假设a，b，c，d都是非负数， a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1.又 (a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，∴ac＋bd≤1.这与已知ac＋bd>1矛盾，∴a，b，c，d中至少有一个是负数．要点二用反证法证明不存在、唯一性命题例2求证对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．证明假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)线段AB的中点在直线y＝ax上，所以由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④当k2＝3时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意．由②、③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2⑤由④知x1＋x2＝，代入⑤整理得：ak＝3，这与①矛盾．所以假设不成立，故不存在实数k，使...
