2.3数学归纳法(一)[学习目标]1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．[知识链接]1．对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？答a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想数列的通项公式为an＝.不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K＋1块也倒下．3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？答(1)当n＝1时，猜想成立；(2)若当n＝k时猜想成立，证明当n＝k＋1时猜想也成立．[预习导引]1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．要点一正确判断命题从n＝k到n＝k＋1项的变化例1已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是________．答案2k解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．规律方法在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．跟踪演练1设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．答案＋＋解析 f(n)＝1＋＋＋…＋，∴f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.要点二证明与自然数n有关的等式例2已知n∈N*，证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.证明(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立；(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时等式成立，即：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.则当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＝右边；所以当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)知对一切n∈N*等式都成立．规律方法(1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；(2)用数学归纳法证...
