学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A．2B．1C．4D．8【解析】抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的距离等于4，故选C.【答案】C2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为()A．2B．4C．6D．4【解析】据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1，0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m＝2，∴等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D.【答案】D3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得①－②得，(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．又 y1＋y2＝4，∴＝＝＝k＝1，∴p＝2.∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.【答案】B4．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A.B．6C．12D．7【解析】焦点F的坐标为，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝，即y＝x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋＝＋＝12，故选C.【答案】C5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于()A．10B．8C．6D．4【解析】由题意知p＝2，|AB|＝x1＋x2＋p＝8.故选B.【答案】B二、填空题6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】设抛物线上点的坐标为(x，±)，此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为.【答案】7．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．【解析】当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.【答案】0或18．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________.【导学号：18490074】【解析】设机器人为...
