疱工巧解牛知识•巧学一、两角差的余弦公式1.推导方法1(向量法)：把cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究.如图3-1-2，设α、β的终边分别与单位圆交于点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ)，由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以我们只需考虑0≤α-β＜π的情况.图3-1-2设向量a==(cosα,sinα)，b==(cosβ,sinβ)，则ab=|a|·|b|·cos(α-β)=cos(α-β);另一方面，由向量数量积的坐标表示有a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.于是对于任意的α、β都有上述式子成立.图3-1-3推导方法2(三角函数线法)：设α、β、α-β都是锐角，如图3-1-3，角α的终边与单位圆的交点为P1,POP∠1=β,则∠POx=α-β；过点P作PMx⊥轴于M，则OM即为α-β的余弦线.在这里，我们想法用α、β的三角函数线来表示OM；过点P作PAOP⊥1于A，过点A作ABx⊥轴于点B，过点P作PCAB⊥于点C，则OA表示cosβ，AP表示sinβ，并且∠PAC=P∠1Ox=α,于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα,即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.2.公式的结构特征记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.3.两角差的余弦公式Cα-β的应用(1)若所求角能表示成两个特殊角的差的形式，则所求角的三角函数值可用两个特殊角的三角函数值表示出来.(2)已知角α、β的弦函数值，求cos(α-β)的值.由cos(α-β)的展开式可知要求cos(α-β)的值，只需求得α、β的正弦值与余弦值即可.其中sinα、cosα，sinβ、cosβ都是同角的三角函数关系.(3)利用两角差的余弦公式证明三角恒等式.(4)利用两角差的余弦公式化简三角函数式.学法一得公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)=cos30°=.误区警示和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(α±β)≠cosα±cosβ.典题•热题知识点一已知角α、β的三角函数值，求cos(α-β)的值例1已知sinα=，α(∈,π),求cos(-α)的值.思路分析：由于是特殊角，根据cos(-α)的展开式，只需求出cosα的值即可.解： sinα=,α(∈,π)，∴cosα=.cos(∴-α)=coscosα+sinsinα=.例2已知sinα=，cosβ=，α、β均为第二象限角，求cos(α-β).思路分析：由cos(α-β)的展开式可知要求cos(α-β)的值，还需求出cosα、sinβ.解：由s...
