学业分层测评(二十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若sinα＝3cosα，则＝()A．2B．3C．4D．6【解析】＝＝＝＝6.【答案】D2．已知sinα＝，则cos(π－2α)＝()A．－B．－C．D．【解析】因为sinα＝，所以cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝－1＋2×2＝－.【答案】B3．若＝，则tan2α＝()A．－B．C．－D．【解析】因为＝，整理得tanα＝－3，所以tan2α＝＝＝.【答案】B4．若sinx·tanx<0，则等于()A．cosxB．－cosxC．sinxD．－sinx【解析】因为sinx·tanx<0，所以x为第二、三象限角，所以cosx<0，所以＝＝|cosx|＝－cosx.【答案】B5．已知＝，则sin2x＝()A．－B．－C．D．【解析】∵＝，∴＝，∴cosx＋sinx＝，∴1＋sin2x＝，∴sin2x＝－.【答案】A二、填空题6．已知sin＝，则sin2x的值等于___________________________．【导学号：00680074】【解析】法一：∵sin＝，∴cos＝1－2sin2＝1－2×2＝，∴sin2x＝cos＝.法二：由sin＝，得(sinx－cosx)＝－，∴sinx－cosx＝－，两边平方得1－sin2x＝，∴sin2x＝.【答案】7．已知sin2α＝，α∈，则cosα－sinα＝________.【解析】因为α∈，所以sinα>cosα，即cosα－sinα<0，又sin2α＝，则有cosα－sinα＝－＝－＝－＝－.【答案】－三、解答题8．化简：tan70°cos10°(tan20°－1)．【解】原式＝·cos10°·＝·cos10°·＝·cos10°·＝－·＝－1.9．已知cosx＝，且x∈，求cos＋sin2x的值．【解】∵cosx＝，x∈，∴sinx＝－＝－，∴sin2x＝2sinxcosx＝－，∴cos＋sin2x＝＋＝－sin2x＝－×＝.[能力提升]1．已知α，β均为锐角，且3sinα＝2sinβ，3cosα＋2cosβ＝3，则α＋2β的值为()A．B．C．D．π【解析】由题意得①2＋②2得cosβ＝，cosα＝，由α，β均为锐角知，sinβ＝，sinα＝，∴tanβ＝2，tanα＝，∴tan2β＝－，∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈，∴α＋2β＝π.故选D．【答案】D2．已知函数f(x)＝cos2－sincos－.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝，求sin2α的值．【解】(1)因为f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cosx)－sinx－＝cos，所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.(2)由(1)知，f(α)＝cos＝，所以cos＝，所以sin2α＝－cos＝－cos＝1－2cos2＝1－＝.
