数论复习1（一）（（上））【考百分kao100.com】.docVIP免费

第一讲数论复习：整除与数论基础本讲概述高一我们较为系统地学习了初等数论的基础知识，后面我们将复习一下数论中的一些问题.本讲重点讨论：数的整除性与带余除法；最大公约数与最小公倍数；简单素数理论与算术基本定理；高斯函数。例题精讲【例1】设a1,a2,,an是整数，且a1a2an=0，a1a2an=n，则4n。【例2】设a1,a2,,an为不全为零的整数，以y0表示集合A={y；y=a1x1anxn，xiZ，1in}中的最小正数，则对于任何yA，y0y；特别地，y0ai，1in。【例3】设a0,a1,,anZ，f(x)=anxna1xa0，已知f(0)与f(1)都不是3的倍数，证明：若方程f(x)=0有整数解，则3f(1)=a0a1a2(1)nan。【例4】设、为正整数，，证明：（）（）．【例5】设a，b，c是正整数，证明：[a,b,c][ab,bc,ca]=[a,b][b,c][c,a]。【例6】证明：（n2）不是整数。【例7】证明：对于任意的整数n，f(n)=3n55n37n被15整除。高二·联赛班·寒假班第一讲·学生版1【例8】设是一个奇数，证明L对于任意正整数，数不能被整除。【例9】证明：⑴设，有；⑵对正整数，记为的十进制表示中各个数位数码之和，则．【例10】设x和y是正无理数，，证明：数列[x],[2x],,[kx],与[y],[2y],,[my],联合构成了整个正整数集合，而且，两个数列中的数互不相同。【例11】设、是正整数，满足，则和都是完全平方数．大显身手1.证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为a2p（a>0是整数，p为素数）的形式。2.证明：12n42n311n210n，nZ。3.设x，yZ，172x3y，证明：179x5y。4.设n是正整数，求的最大公约数。5.设a，b，c是正整数，证明：。高二·联赛班·寒假班第一讲·学生版26.记Mn=2n1，证明：对于正整数a，b，有(Ma,Mb)=M(a,b)。7.证明：（n2）不是整数。8.设a，b是正整数，证明：存在a1，a2，b1，b2，使得a=a1a2，b=b1b2，(a2,b2)=1，并且[a,b]=a2b2。9.证明：方程f(x)=[x][2x][22x][23x][24x][25x]=12345没有实数解。10.证明：在n!的标准分解式中，2的指数h=nk，其中k是n的二进制表示的位数码之和。11.设与为正整数，满足，求证可被1979整除（1979）高二·联赛班·寒假班第一讲·学生版3