第十三讲函数方程本讲概述函数方程问题一般将它独立地划为竞赛六大板块之一，其解法灵活多变，形式往往出人意料.本讲假定大家已经具备函数方程与函数迭代的基础知识，如代值法，换元法，柯西法，爬坡法等等,并完成过一些基础到中等难度的函数方程问题.例题精讲【例1】（热身问题）解函数方程：(1)2011春季北京四中·联赛函数专题班·第4讲·学生版1【例2】设b是一个正实数，试求所有函数，使得成立2011春季北京四中·联赛函数专题班·第4讲·学生版2【例3】设为定义在实数集R上的单调连续函数，试解函数方程。2011春季北京四中·联赛函数专题班·第4讲·学生版3【例4】试求定义在有理数集并且在有理数集上取值的函数，满足（1）（2）。求函数。【例5】求所有的函数,使得①2011春季北京四中·联赛函数专题班·第4讲·学生版4【例6】如果对任意实数，，均有①则称为“强凸”函数.取为的正整数，对任意整数，定义“差分”②（Ⅰ）在①中取，试证：③2011春季北京四中·联赛函数专题班·第4讲·学生版5（Ⅱ）证明:④（Ⅲ）证明：满足①的“强凸”函数不可能存在．【例7】求所有的函数满足对所有的正实数，x,y,z，都有：2011春季北京四中·联赛函数专题班·第4讲·学生版6【例8】求定义域为正实数集，值域为实数集的函数f，满足：，，其中x、y为任意实数。2011春季北京四中·联赛函数专题班·第4讲·学生版7大显身手1．求解函数方程：。2011春季北京四中·联赛函数专题班·第4讲·学生版82．设，找出使：．2011春季北京四中·联赛函数专题班·第4讲·学生版93．试求所有的函数，使得对任意，都有4．设有界函数满足：求2011春季北京四中·联赛函数专题班·第4讲·学生版10
