二次剩余（上）【考百分kao100.com】.docVIP免费

第五讲数论复习：质数、二次剩余与指数本讲概述本讲重点讨论：关于质数相关的一些问题，比如质数的分布，二次剩余和指数的概念。例题精讲【例1】形如4n3的素数有无限多个。【例2】记(n)为1-n之间的素数的个数，证明对于n1，(ⅰ)(n)log2n；(ⅱ)pn22n。【例3】（欧拉判别条件）设p是奇素数，(a,p)＝1，则（i）a是模p的平方剩余的充要条件是≡1（modp）（1）（ii）a是模p的平方非剩余的充要条件是≡－1（modp）（2）并且当a是模p的平方剩余时，同余方程（1）恰有两个解。【例4】判断方程x25(mod11)有没有解。【例5】形如4m1（kZ）的素数有无穷多个。高二·联赛班·寒假班第一讲·学生版1【例6】4k+3形的正整数不能表示成两个整数的平方和。【例7】设n，m,x，y，和k都是整数，p是素数，x2y2=p，n2m2=pk，(3)则k可以表示成二平方之和。【例8】对于任意的自然数n，n21的素因数都可以表示成二平方数之和。【例9】正整数n能表示成二平方数之和的充要条件，是在它的标准分解式中，形如4k3的素因数的指数是偶数。【例10】设素数p>2，则存在整数x0，y0与m0，1m01，(a,m)=1，则使ar1(modm)成立的最小的正整数r，称为a对模m的指数，记为m(a)，在不致误会的情况下，简记为(a)。由Euler定理，当r=(m)时式(1)成立，因此，恒有m(a)(m)。若m(a)=(m)，则称a是模m的原根。以后，在谈到a对模m的指数时，总假定m>1，(a,m)=1。【例11】记=m(a)，则a0,a1,,a1对模m两两不同余。【例12】设=m(a)，r与r是正整数，则arar(modm)的充要条件是rr(mod)。特别地，ar1(modm)的充要条件是r。大显身手高二·联赛班·春季第3讲·学生版21.证明：形如6n5的素数有无限多个。2.设d是正整数，6d，证明：在以d为公差的等差数列中，连续三项都是素数的情况最多发生一次。3.证明：对于任意给定的正整数n，必存在连续的n个自然数，使得它们都是合数。4.设n是整数，证明n21的任何奇因数都是4m1（mZ）的形式。5.若(x,y,z)=1，则不存在整数n，使得x2y2z2=4n2。6.设p是素数，ab>0，xy>0，(a,b)=(x,y)=1，且p=a2b2=x2y2，则a=x，b=y。7.证明：(ⅰ)设p奇素数，则Mp=2p1的素因数必为2pk1型；(ⅱ)设n0，则Fn=1的素因数必为2n+1k1型。高二·联赛班·寒假班第一讲·学生版3