第七讲组合综合问题本讲概述在前六讲我们对组合数学中的不少专题进行了研究，本讲不再进行具体某个专题的学习，而是通过一些综合性的问题的探讨来寻找组合数学“解题的感觉”.本讲的题目与前面相比，综合性更强，难度在二试与冬令营之间，可能需要综合应用前面所学的多种组合知识乃至其它学科的知识来解决.事实上，组合与几何学、数论相联系形成的组合几何、组合数论问题往往难度较大，又能同时考察多个学科，是命题人青睐的对象，而在组合问题的探索过程中，特别是组合极值问题中，常常用到代数知识特别是数列与不等式知识.教师备注：本讲主要研究两大方面问题：（1）组合与其它学科相结合（2）组合极值及其构造、论证；部分题目来自冬令营或相当冬令营难度的比赛，教师可自行选择适当问题讲述例题精讲【例1】设ABC为正三角形，E为线段BC，CA，AB上点的集合（包括A，B，C在内）。将E分成两个子集，求证：总有一个子集中含有一个直角三角形的顶点。【解析】将E中的点染成红、蓝二色，即证明必存在一个直角三角形，它们的顶点同色。在三边上取三等分点P，Q，R，如图01—05。易知RQ⊥BC，QP⊥AC，PR⊥AB。这三点必至少有两点同色。不妨设R，Q为红色。（1）如果BC边上除Q点外还有红色的点X，则Rt△RQX三个顶点同为红色。（2）如果BC边上除Q外不存在红色点，则B点是蓝色的。如果AB上除B外还有蓝色点Y，作YM⊥BC，M为垂足，显然M不同于Q。所以Rt△YBM三个顶点均为蓝色；如果AB上除B点外均为红色。作QZ⊥AB，Z为垂足，则Rt△RQZ的三个顶点均为红色。证毕。【例2】某足球邀请赛有16个城市参加，每市派出甲乙两队.根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，且同一城市两队之间不比赛.比赛进行若干天后统计，发现除A市甲队之外，其它各队已赛过场次互不相同.试问A市乙队已赛过多少场？【解析】依比赛规则，每队至多赛30场，所以除A市甲队之外，其它各队已赛过场次依次为.考场赛过30场和0场的队，经简单推理知此两队必为同城队；接下来依次配对（29,1），（28,2），…，（14,16）.只有15没有配对，这就是乙队.于是乙队赛过15场.【例3】20支足球队参加比赛，每两队至多赛一场.为了使任何三队中都有两队赛过，球赛组委会安排了m场比赛，试求m最小值.高一·联赛班·寒假第7讲·教师版1【解析】设A队赛过k场，是所有队中赛过场次最少的.与A队赛过的k个队，各至少赛过k场，没有与A赛过的19-k个队中的任何两队B,C必赛过（否则就出现A,B,C三队两两未赛过，矛盾！）.于是...
