北京市朝阳2023学年高考数学二模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．充分不必要条件 2．单位正方体ABCD-，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A．1 B． C． D．0 3．已知，，则（ ） A． B． C． D． 4．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝(　　)． A． B． C． D．5 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A． B． C．2 D． 6．的展开式中的一次项系数为（ ） A． B． C． D． 7．下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 8．已知集合，则为（ ） A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2] 9．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．函数（， ， ）的部分图象如图所示，则的值分别为（ ） A．2，0 B．2， C．2， D．2， 11．已知实数，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 12．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知为椭圆上的一个动点，，，设直线和分别与直线交于，两点，若与的面积相等，则线段的长为______. 14．若，则____. 15．某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有____种． 16．已知关于的方程在区间上恰有两个解，则实数的取值范围是________ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）当时，解不等式； （2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 18．（12分）设函数． （1）当时，解不等式； （2）若的解集为，，求证：． 19．（12分）如图，三棱锥中，，，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20．（12分）已知是公比为的无穷等比数列，其前项和为，满足，________．是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 21．（12分）已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 22．（10分）已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 充分性中，由向量数乘的几何意义得，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得，不一定有正数，使得，所以不成立，即可得答案. 【题目详解】 充分性：若存在正数，使得，则，，得证； 必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立； 所以是充分不必要条件 故选：D 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题. 2、B 【答案解析】 根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离． 【题目详解】 由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA， 即过1段后又回到起点， 可以看作以1为周期， 由， 白蚂蚁爬完2020段后到回到C点； 同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA， 黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点， 所以它们此时的距离为. 故选B. 【答案点睛】 本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题. 3、D 【答案解析】 分别解出集合然后求并集. 【题目详解】 解：， 故选：D 【答案点睛】 考查集合的并集运算，基础题. 4、C 【答案解析】 试题分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根据复数相等的充要条件，有a＝－，b＝－1 所以|a＋bi|＝，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模 5、A 【答案解析】 由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形， 且两直角边分别为和，所以底面面积为 高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A． 6、B 【答案解析】 根据多项式乘法法则得出的一次项系数，然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论． 【题目详解】 由题意展开式中的一次项系数为． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 7、D 【答案解析】 根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【题目详解】 对于，，，错误； 对于，在上单调递减，，错误； 对于，，，，错误； 对于，在上单调递增，，正确. 故选：. 【答案点睛】 本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性. 8、B 【答案解析】 先求出，得到，再结合集合交集的运算，即可求解. 【题目详解】 由题意，集合， 所以，则， 所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 9、B 【答案解析】 画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案. 【题目详解】 ，画出函数图像，如图所示： 根据图像知：，，故，且. 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键. 10、D 【答案解析】 由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案 【题目详解】 由函数图象可知： ， 函数的图象过点 ， ，则 故选 【答案点睛】 本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果 11、C 【答案解析】 利用不等式性质可判断，利用对数函数和指数函数的单调性判断. 【题目详解】 解：对于实数， ，不成立 对于不成立． 对于．利用对数函数单调递增性质，即可得出． 对于指数函数单调递减性质，因此不成立． 故选：． 【答案点睛】 利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． 12、C 【答案解析】 由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案. 【题目详解】 解：由题意知：，，设，则 在中，列勾股方程得：，解得 所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为 故选C. 【答案点睛】 本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先设点坐标，由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系，这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出来，从而可求得点的横坐标，代入椭圆方程得纵坐标，然后可得． 【题目详解】 如图，设，，， 由，得， 由得，∴，解得， 又在椭圆上，∴，， ∴． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查直线与椭圆相交问题，解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系，解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示． 14、 【答案解析】 由， 得出，根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果. 【题目详解】 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于对公式的考查以及对计算能力的考查. 15、60 【答案解析】 试题分析：每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种. 考点：排列组合. 16、 【答案解析】 先换元，令，将原方程转化为，利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点，观察图像，即可求出． 【题目详解】 因为关于的方程在区间上恰有两个解，令，所以方程在 上只有一解，即有 ， 直线与 在的图像有一个交点， 由图可知，实数的取值范围是，但是当时，还有一个根，所以此时共有3个根. 综上实数的取值范围是. 【答案点睛】 本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力，方程有解问题转化成两函数的图像有交点问题，是常见的转化方式． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）或；（2） 【答案解析】 （1）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果. （2）利用等价转化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关系，可得结果. 【题目详解】 （1）当时， 原不等式可化为. ①当时， 则，所以； ②当时， 则，所以； ⑧当时， 则，所以. 综上所述： 当时，不等式的解集为或. （2）由， 则， 由题可知： 在恒成立， 所以，即， 即， 所以 故所求实数的取值范围是. 【答案点睛】 本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想，属中档题. 18、（1）；（2）见解析. 【答案解析】 （1）当时，将所求不等式变形为，然后分、、三段解不等式，综合可得出原不等式的解集； （2）先由不等式的解集求得实数，可得出，将代数式变形为，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，进而可证得结论. 【题目详解】 （1）当时，不等式为，且. 当时，由得，解得，此时； 当时，由得，该不等式不成立，此时； 当时，由得，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为； （2）由，得，即或， 不等式的解集为，故，解得，， ， ，， 当且仅当，时取等号，． 【答案点睛】 本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考