2023届民族大学附属中学高考数学二模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的虚部是 ( ) A． B． C． D． 2．已知函数，若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ） A．12种 B．24种 C．36种 D．72种 4．已知平面向量，，，则实数x的值等于（ ） A．6 B．1 C． D． 5．等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A．-2 B．2 C．4 D．7 6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）． A． B． C． D． 7．已知纯虚数满足，其中为虚数单位，则实数等于（ ） A． B．1 C． D．2 8．已知函数的导函数为，记，，…，N. 若，则 （ ） A． B． C． D． 9．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ） A． B． C． D． 10．若满足约束条件则的最大值为（ ） A．10 B．8 C．5 D．3 11．已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ） A．或 B．或 C．或 D． 12．双曲线C：（，）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（ ） A．3 B． C．6 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在△ABC中，∠BAC＝，AD为∠BAC的角平分线，且，若AB＝2，则BC＝_______. 14．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______． 15．已知集合，则____________. 16．若函数为自然对数的底数）在和两处取得极值，且，则实数的取值范围是______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）过点P(-4,0)的动直线l与抛物线相交于D、E两点，已知当l的斜率为时，. （1）求抛物线C的方程； （2）设的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围. 18．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面ABCD满足AD∥BC，，，E为AD的中点，AC与BE的交点为O. （1）设H是线段BE上的动点，证明：三棱锥的体积是定值； （2）求四棱锥的体积； （3）求直线BC与平面PBD所成角的余弦值． 19．（12分）已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且. （1）求不等式的解集； （2）对任意，恒成立，求实数的取值范围. 20．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，.点，，分别为线段，，的中点，点是线段的中点. （1）求证：平面. （2）判断与平面的位置关系，并证明. 21．（12分）已知满足 ，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.） 22．（10分）已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 因为 ，所以的虚部是 ，故选C. 2、C 【答案解析】 求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式． 【题目详解】 由得， 在时，是增函数，是增函数，是增函数，∴是增函数， ∴由得，解得． 故选：C. 【答案点睛】 本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解． 3、C 【答案解析】 先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有种方法，由分步原理可知共有种. 【题目详解】 不同分配方法总数为种. 故选：C 【答案点睛】 此题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题. 4、A 【答案解析】 根据向量平行的坐标表示即可求解. 【题目详解】 ，，， ， 即， 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题. 5、B 【答案解析】 在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得，再由等差数列通项公式求得公差. 【题目详解】 在等差数列的前项和为，则 则 故选：B 【答案点睛】 本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题. 6、A 【答案解析】 基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率． 【题目详解】 解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数， 基本事件总数， 其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个， 其和等于的概率． 故选：． 【答案点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 7、B 【答案解析】 先根据复数的除法表示出，然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可. 【题目详解】 因为，所以， 又因为是纯虚数，所以，所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数为纯虚数，则有. 8、D 【答案解析】 通过计算，可得，最后计算可得结果. 【题目详解】 由题可知： 所以 所以猜想可知： 由 所以 所以 故选：D 【答案点睛】 本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题. 9、A 【答案解析】 设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求. 【题目详解】 由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为, 所以每个等腰三角形的面积为, 所以圆的面积为,即, 所以当时,可得, 故选:A 【答案点睛】 本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力. 10、D 【答案解析】 画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【题目详解】 解:由约束条件作出可行域如图, 化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知 当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为 的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题. 11、A 【答案解析】 过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线的定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线相切，再用判别式或导数计算即可. 【题目详解】 过作与准线垂直，垂足为，， 则当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切， 易知此时直线的斜率存在，设切线方程为， 则.则， 则直线的方程为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 12、A 【答案解析】 根据焦点到渐近线的距离，可得，然后根据，可得结果. 【题目详解】 由题可知：双曲线的渐近线方程为 取右焦点，一条渐近线 则点到的距离为，由 所以，则 又 所以 所以焦距为： 故选：A 【答案点睛】 本题考查双曲线渐近线方程，以及之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由，求出长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出边，再由余弦定理，即可求解. 【题目详解】 , ， ， ， . 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题. 14、 【答案解析】 先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果. 【题目详解】 由题意作出区域，如图中阴影部分所示， 易知，故 ，又，设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，即，故所求外接圆的面积为. 【答案点睛】 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 15、 【答案解析】 根据并集的定义计算即可. 【题目详解】 由集合的并集，知. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查集合的并集运算，属于容易题. 16、 【答案解析】 先将函数在和两处取得极值，转化为方程有两不等实根，且，再令，将问题转化为直线与曲线有两交点，且横坐标满足，用导数方法研究单调性，作出简图，求出时，的值，进而可得出结果. 【题目详解】 因为，所以， 又函数在和两处取得极值， 所以是方程的两不等实根，且， 即有两不等实根，且， 令， 则直线与曲线有两交点，且交点横坐标满足， 又， 由得， 所以，当时，，即函数在上单调递增； 当，时，，即函数在和上单调递减； 当时，由得，此时， 因此，由得. 故答案为 【答案点睛】 本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、； 【答案解析】 根据题意,求出直线方程并与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合,即可求出抛物线C的方程； 设，的中点为，把直线l方程与抛物线方程联立,利用判别式求出的取值范围,利用韦达定理求出,进而求出的中垂线方程,即可求得在轴上的截距的表达式,然后根据的取值范围求解即可. 【题目详解】 由题意可知,直线l的方程为, 与抛物线方程方程联立可得, , 设,由韦达定理可得, , 因为,, 所以,解得, 所以抛物线C的方程为; 设,的中点为, 由,消去可得, 所以判别式,解得或, 由韦达定理可得,, 所以的中垂线方程为, 令则, 因为或,所以即为所求.