2023学年浙江省五校（镇海中学高三最后一模数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ） A． B． C． D． 2．正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（ ） A．36 B．21 C．12 D．6 3．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）． A． B． C． D． 4．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路； 事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A．甲走桃花峪登山线路 B．乙走红门盘道徒步线路 C．丙走桃花峪登山线路 D．甲走天烛峰登山线路 5．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（ ） A． B．3 C． D．2 6．定义在上的函数满足，则（） A．-1 B．0 C．1 D．2 7．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A． B． C． D． 8．已知集合则（ ） A． B． C． D． 9．设等差数列的前项和为，若，则（ ） A．23 B．25 C．28 D．29 10．给出下列三个命题： ①“”的否定； ②在中，“”是“”的充要条件； ③将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． 其中假命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．已知函数，则（ ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数图像关于对称 D．函数图像关于对称 12．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y的值为________． 14．对定义在上的函数，如果同时满足以下两个条件： （1）对任意的总有； （2）当，，时，总有成立. 则称函数称为G函数.若是定义在上G函数，则实数a的取值范围为________. 15．在正方体中，已知点在直线上运动，则下列四个命题中：①三棱锥的体积不变；②；③当为中点时，二面角 的余弦值为；④若正方体的棱长为2，则的最小值为；其中说法正确的是____________（写出所有说法正确的编号） 16．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线左支交于两点，，的内切圆的圆心的纵坐标为，则双曲线的离心率为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值. 18．（12分）已知，. （1）解； （2）若，证明：. 19．（12分）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线和直线的极坐标方程分别是（）和（），其中（）. （1）写出曲线的直角坐标方程； （2）设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点，，求的面积最小值. 20．（12分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积； （2）化简求值：． 21．（12分）如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 22．（10分）已知数列满足，等差数列满足， （1）分别求出，的通项公式； （2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为证明：． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 由半圆面积之比，可求出两个直角边 的长度之比，从而可知，结合同角三角函数的基本关系，即可求出，由二倍角公式即可求出. 【题目详解】 解：由题意知 ，以 为直径的半圆面积， 以 为直径的半圆面积，则，即. 由 ，得 ，所以. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 2、B 【答案解析】 先找到与平面平行的平面，利用面面平行的定义即可得到. 【题目详解】 考虑与平面平行的平面，平面，平面， 共有， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题. 3、C 【答案解析】 从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C. 4、D 【答案解析】 甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【题目详解】 若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾. 故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型. 5、D 【答案解析】 根据抛物线的定义求得，由此求得的长. 【题目详解】 过作，垂足为，设与轴的交点为.根据抛物线的定义可知.由于，所以，所以，所以，所以. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 6、C 【答案解析】 推导出，由此能求出的值． 【题目详解】 ∵定义在上的函数满足， ∴，故选C． 【答案点睛】 本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题. 7、D 【答案解析】 分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值. 【题目详解】 设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养. 8、B 【答案解析】 解对数不等式可得集合A，由交集运算即可求解. 【题目详解】 集合解得 由集合交集运算可得， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题. 9、D 【答案解析】 由可求，再求公差，再求解即可. 【题目详解】 解：是等差数列 ，又， 公差为， ， 故选：D 【答案点睛】 考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题. 10、C 【答案解析】 结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【题目详解】 对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题; 对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确; 对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题． 故假命题有①③. 故选:C 【答案点睛】 本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 11、C 【答案解析】 依题意可得，即函数图像关于对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性； 【题目详解】 解：由， ，所以函数图像关于对称， 又，在上不单调. 故正确的只有C， 故选：C 【答案点睛】 本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 12、A 【答案解析】 分析可得,显然在上恒成立,只需讨论时的情况即可,,然后构造函数,结合的单调性,不等式等价于,进而求得的取值范围即可. 【题目详解】 由题意,若,显然不是恒大于零,故. ,则在上恒成立; 当时,等价于, 因为,所以. 设,由,显然在上单调递增, 因为,所以等价于,即,则. 设,则. 令,解得,易得在上单调递增,在上单调递减, 从而，故. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值. 【题目详解】 根据茎叶图中的数据，得： 甲班5名同学成绩的平均数为， 解得； 又乙班5名同学的中位数为73，则； . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题. 14、 【答案解析】 由不等式恒成立问题采用分离变量最值法：对任意的恒成立，解得，又在，恒成立，即，所以，从而可得. 【题目详解】 因为是定义在上G函数， 所以对任意的总有， 则对任意的恒成立， 解得， 当时， 又因为，，时， 总有成立， 即 恒成立， 即恒成立， 又此时的最小值为， 即恒成立， 又因为 解得. 故答案为： 【答案点睛】 本题是一道函数新定义题目，考查了不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生分析理解能力，属于中档题. 15、①②④ 【答案解析】 ①∵，∴平面 ，得出上任意一点到平面的距离相等，所以判断命题①； ②由已知得出点P在面上的射影在上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题②； ③当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判断命题③； ④过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，根据对称性和两点之间线段最短，可求得当点在点时，在一条直线上，取得最小值.可判断命题④. 【题目详解】 ①∵，∴平面 ，所以上任意一点到平面的距离相等，所以三棱锥的体积不变，所以①正确； ②在直线上运动