习题4.11．求下列矩阵的特征值和特征向量.（1）;解:方阵的特征多项式为,方阵的特征值为.解方程组.由,得基础解系，.因此,方阵对应于的全部特征向量为(不同时为零).（2）.解:方阵的特征多项式为,方阵的特征值为,,.当时,解方程组.由,得基础解系.因此,方阵对应于的全部特征向量为(不为零).当时,解方程组.由,得基础解系.因此,方阵对应于的全部特征向量为(不为零).当时,解方程组.由,得基础解系.因此,方阵对应于的全部特征向量为(不为零).2．设,为的特征值.证明为的特征值.证明:存在非零向量,使.于是,,…………,,.因此,为的特征值.3．已知3阶矩阵的特征值为,求.解:记,则的特征值为,,.于是.4．设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明（1）为的特征值;（2）为的特征值.证明:(1)存在非零向量,使.于是,因此,为的特征值.(2)因,而为的特征值,所以[由题2知]为的特征值.5．已知3阶矩阵的特征值为,求.解:因矩阵的特征值为,所以,.记,则的特征值为,,.于是.6．设有四阶方阵满足条件,,,求方阵的伴随矩阵的一个特征值.解:因,故,可知的一个特征值为.由,得.因,所以.于是的一个特征值为.7．已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量.试求常数.解:存在的特征值,使得.故有,即得.解此方程,求得或.8．设有三个线性无关的特征向量,求和应满足的条件.解:方阵的特征多项式为,方阵的特征值为,.因有三个线性无关的特征向量,所以的几何重数等于代数重数,也即.因此.而.当且仅当时,,有三个线性无关的特征向量.9．设矩阵可相似对角化,求.解:方阵的特征多项式为,方阵的特征值为,.因可相似对角化,所以的几何重数等于代数重数,即,.而.当且仅当时,,可相似对角化.10．设三阶方阵的特征值为,对应的特征向量依次为,,,求.解:记,则有.因此,.注意是初等矩阵,知.于是.11．已知矩阵与相似.（1）求和;（2）求一个满足的可逆矩阵.解:(1)因矩阵与对角矩阵相似,故知矩阵的特征值为.由特征值的性质,我们有,.于是得方程组.求得.(2)当时,解方程组.由,得基础解系.当时,解方程组.由,得基础解系.当时,解方程组.由,得基础解系.所以,满足的一个可逆矩阵为.12．设都是阶方阵,且,证明与相似.证明:因,故可逆.因为,所以与相似.
