近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A与B都是非空集合，那么A∪B={x|x∈Ax且∈B}。（f）设A、B、D都是非空集合，则A×B到D的每个映射都叫作二元运算。（f）3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f−1。（t）4、如果循环群G=(a)中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（t）5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（f）6、群G的子群H是不变子群的充要条件为∀g∈G,∀h∈H;g−1Hg⊆H。（t）7、如果环R的阶¿2，那么R的单位元1≠0。（t）8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（t）9、F(x)中满足条件p(α)=0的多项式叫做元α在域F上的极小多项式。（f）10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z(p)同构的子域，这里Z是整数环，(p)是由素数p生成的主理想。（f）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）1、设A1,A2,⋯,An和D都是非空集合，而f是A1×A2×⋯×An到D的一个映射，那么（2）①集合A1,A2,⋯,An,D中两两都不相同；②A1,A2,⋯,An的次序不能调换；③A1×A2×⋯×An中不同的元对应的象必不相同；④一个元(a1,a2,⋯,an)的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（3）4①在整数集Z上，a∘b=a+bab；②在有理数集Q上，a∘b=√|ab|；③在正实数集R+上，a∘b=alnb；④在集合{n∈Z|n≥0}上，a∘b=|a−b|。3、设∘是整数集Z上的二元运算，其中a∘b=max{a,b}（即取a与b中的最大者），那么∘在Z中（4）3①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。4、设(G,∘)为群，其中G是实数集，而乘法∘:a∘b=a+b+k，这里k为G中固定的常数。那么群(G,∘)中的单位元e和元x的逆元分别是（4）①0和−x；②1和0；③k和x−2k；④−k和−(x+2k)。5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a=bxc−1,acx=xac，那么x=（2）1①bc−1a−1；②c−1a−1；③a−1bc−1；④b−1ca。6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类{H,aH,bH,cH}。如果6，那么G的阶|G|=（3）2①6；②24；③10；④12。7、设f:G1→G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（2）4①f的同态核是G1的不变子群；②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③G1的子群的象是G2的子群；④G1的不变子群的象是G2的不变子群。8、设f:R1→R2是环同态满射，f(a)=b，那么下列错误的结论为（4）...
