近世代数模拟试题一.单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.A.0B.1C.－1D.1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）.A.G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群;B.G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;C.G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D.G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3.如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是().A.反身性B.对称性C.传递性D.封闭性4.对整数加群Z来说，下列不正确的是（）.A.Z没有生成元.B.1是其生成元.C.－1是其生成元.D.Z是无限循环群.5.下列叙述正确的是（）。A.群G是指一个集合.B.环R是指一个集合.C.群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D.环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.大学数学二.计算题(每题10分，共30分)1.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G中下列各个元素，的阶.2.试求出三次对称群的所有子群.大学数学3.若是环的惟一左单位元，那么是的单位元吗？若是，请给予证明.三.证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1.证明:在群中只有单位元满足方程大学数学2．设是正有理数乘群，是整数加群.证明：是群到的一个满同态，其中是整数，而.大学数学3．设是环的一个子环.证明:如果与都有单位元，但不相等，则的单位元必为的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题(每题5分，共25分)1.A2.D3.D4.A5.C大学数学二.计算题(每题10分，共30分)1.解：易知c的阶无限，(3分)d的阶为2.（3分）但是（2分）的阶有限，是2.（2分）2.解：的以下六个子集（7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是的子集.（3分）3.解：是的单位元。事实上，任取则因是的左单位元，故即也是的左单位元。故有题设得即是的单位元.三、证明题(每小题15分共45分)1．证明：设是的单位元，则显然满足所说的方程（3分）另外，设且，则有即（5分）即只有满足方程（2分）大学数学2.证明：显然是到的一个满射（3分）又由于当时有（4分）且（6分）故是群到的一个同态满射。（2分）3证明：分别用和表示与的单位元，且，于是不是的单位元。（3分）因此，存在，使或（5分）如果，则，且（4分）即是的（右）零因子。（3分）同理，如果则是的（左）零因子.（5分）大学数学
