[收稿日期]2022-01-18;[修改日期]2022-06-20[基金项目]国家新工科项目(E-DSJ20201110);浙江理工大学数学与应用数学国家一流本科专业建设点;浙江省省级课堂教学改革“基于现代信息技术的数值分析课程教学改革”和浙江理工大学研究生课堂教学改革项目(YKC-202102)[作者简介]张启峰(1987-),男,博士,副教授,从事微分方程数值解研究.E-mail:zhangqifeng0504@163.com[通讯作者]徐定华(1967-),男,博士,教授,从事可计算建模与反问题算法研究.E-mail:dhxu6708@zstu.edu.cn第38卷第6期大学数学Vol.38,№.62022年12月COLLEGEMATHEMATICSDec.2022二阶线性齐次常微分方程与方程组求解的类比法张启峰,徐定华,徐映红(浙江理工大学理学院数学系,杭州310018)[摘要]将类比法应用于二阶线性齐次常系数常微分方程和常微分方程组的解析求解.分别基于特征函数法和降阶法给出其形式解,然后详细证明了两类形式解的等价性;本文为大学数学的常微分方程类比法教学提供了一个成功的案例.[关键词]类比法;二阶线性齐次常微分方程(组);特征函数法;降阶法[中图分类号]O241.82[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2022)06-0074-051引言常微分方程是大学本科阶段理工科学生的必修内容,对于打算进一步从事工程和科学研究起着重要的桥梁和纽带作用.常微分方程也是数学专业核心课程如数学分析、高等代数等在微分方程这一分支方向的重要应用,同时也是后续学习偏微分方程的基础课程,因而在大学教学中有必要着重对待.类比法是一类十分重要的认知手段和学习方法,是创新思维培养的基本方法[1-2].“它具有多种多样的形式,如低维与高维类比、离散与连续类比、有限与无限类比、微分与积分类比”[3]等等.具体的类比法案例包括函数与函数的类比[3]、积分变量的变换公式间的类比[4]、向量组线性无关性和函数线性无关性的类比[5]、阶乘函数推导的类比[6]、黎曼积分与勒贝格积分的类比、实数集与抽象集合的类比、欧几里得空间与Hilbert空间的类比等等.本文将以二阶线性齐次常微分方程u″(t)+au(t)=0,t>0,u(0)=v,u'(0)=w(1)和常微分方程组u″(t)+Au(t)=0,t>0,u(0)=^v,u'(0)=^w(2)为模型问题展示类比法.(1)中a为任意实数(分为a>0,a=0和a<0三种情形),(2)中矩阵A∈ℝn×n为对称正定矩阵或者零矩阵或者对称负定矩阵.设A=PTΛP,当A正定时,定义A=PTΛP,其中Λ是以A特征根正的平方根为对角元素构成的对角矩阵;当A为负定时,定义-A=PTΛP,Λ是以-A特征根正的平方根为对角元素构成的对角矩阵.二阶常微分方程具有广泛...
