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23考研数学冲刺讲义-高数（窦峥）12023考研数学冲刺讲义-高等数学第一部分极限例1.已知0f存在，求满足1fxfyfxyfxfy的函数fx.例2.求3201coscos2cos3limxxxxx.例3.设2245001limxtxabedtcxxx.求,,abc.例4.设fx在0,上连续，0fxdx收敛，求01limyyxfxdxy.例5.依次求解以下问题：（1）证明方程210xnex有唯一实根nx（0,1,2,n）.（2）证明limnnx存在，并求其值A.（3）证明当n时，nxA与1n是同阶无穷小.例6.设0a，10x，13134nnnaxxx1,2,n，求limnnx.23考研数学冲刺讲义-高数（窦峥）2例7.设fx处处可导，且201kfxx（0k为常数），又设0x为任意一点，数列nx满足1nnxfx1,2,n，证明：当n时，数列nx的极限存在.例8.设12010,1,2,nnaxxdxn.（1）证明na单调减少且212nnnaan；（2）求1limnnnaa.第二部分一元微分学一、几何应用例1.设22213fxxxx，问：fx由几个极值？几个拐点？例2.求椭圆223xxyy上纵坐标最大与最小的点.二、中值定理例3.设fx在,ab上连续，在,ab内可导，且0fafb，02abfaf.证明：,ab，使ff.例4.已知fx在,a上连续，在,a内可导，且limxfxfa.证明：,a，使0f.23考研数学冲刺讲义-高数（窦峥）3例5.设yfx在1,1内具有二阶连续导数，且0fx.（1）证明：对于1,1内任一非零x，存在唯一的0,1x，使0fxfxfxx；（2）求01lim2xx.例6.设fx三阶可导，且0fa，22faxaxafxfafaxa，01.证明：1lim3xa.例7.设fx在0,1上具有二阶导数，且fxa，fxb，其中,ab均为非负常数，c是0,1内任意一点，证明：22bfca.三、微分不等式及函数零点例8.已知fx可导，且22fxxfxx，则下列不等式在,恒成立的是（）.0Afx.0Bfx.Cfxx.Dfxx例9.设fx可导，且0fxfx，则（）.11Aff.1...