高数第6讲：微分方程一阶微分方程可分离变量型y'=f(x)·g(y)分离变量y'=f(ax^2+bx+c)令ax^2+bx+c=u分离变量齐次微分方程y'=f(y/x)令y/x=u分离变量y'=f(x/y)令x/y=u分离变量一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)公式法伯努利方程y'+p(x)y=q(x)*y^n令y^(1-n)=z公式法二阶可降阶微分方程y''=f(x,y')缺y令y'=p,y''=p'降阶y''=f(y,y')缺x令y'=p,y''=(dp/dy)*p降阶高阶常系数线性微分方程二阶y''+py'+qy=f(x)齐次通解y''+py'+qy=0λ^2+pλ+q=0Δ=p^2-4q特解y''+py'+qy=[e^(αx)]*Pm(x)y''+py'+qy=[e^(αx)]*[Pm(x)cosβx+Pn(x)sinβx]代回方程，求待定系数通解=齐次通解+特解y''+py'+qy=f1(x)+f2(x)拆欧拉方程x^2*y''+pxy'+qy=f(x)x>0令x=e^tx<0令x=-e^t高阶y^(n)，n>=3y'''+p1*y''+p2*y'+p3*y=0λ^3+p1*λ^2+p2*λ+p3=0λ为单实根λ为k重实根λ为单复根α±βi应用用极限或导数定义建方程用几何应用建方程切线斜率，公切线斜率截距面积体积平均值弧长侧面积形心曲率用变化率建方程元素衰减人口增长追踪问题冷却定律牛顿第二定律经济问题换元法用自变量来换元用因变量来换元求导公式逆用(e^狗)'=(e^狗)*(狗)'u'v+uv'=(uv)'(u'v-uv')/(v^2)=(u/v)'x,y地位互换差分方程[数三]齐次差分方程非齐次差分方程
