1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分21分.)(1)【答案】12【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成00型,从而利用洛必达法则进行求解.方法一：000cos2limcot2limlimcos2sin2sin2xxxxxxxxxxx→→→==⋅0011limlimsin22cos22xxxxx→→==洛.方法二：00cos2limcot2limsin2xxxxxxx→→=0012121limcos2lim.2sin22sin22xxxxxxx→→=⋅==【相关知识点】0sinlimxxx→是两个重要极限中的一个,0sinlim1xxx→=.(2)【答案】π【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,0sinttdtπ=∫[]000(cos)cos(cos)tdttttdtπππ−=−−−∫∫分部法[]00sin(00)tππππ=++=+−=.(3)【答案】2yx=【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即0()fx′.这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即(1)(2)yxx′=−−.由y′在其定义域内的连续性,可知0(01)(02)2xy=′=−−=.所以,所求切线方程为02(0)yx−=−,即2yx=.(4)【答案】!n【解析】方法一：利用函数导数的概念求解,即00()(0)(1)(2)()0(0)limlimxxfxfxxxxnfxx→→−++⋅⋅+−′==0lim(1)(2)()12!xxxxnnn→=++⋅⋅+=⋅⋅⋅=.方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知,()(1)(2)()1(2)()fxxxxnxxxn′=++⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+++(1)(2)(1)1xxxxn++⋅⋅+−⋅,更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634关注公众号【考研题库】保存更多高清资料所以(0)(01)(02)(0)00fn′=++⋅⋅++++12!nn=⋅⋅⋅=.(5)【答案】1x−【解析】由定积分的性质可知,10()ftdt∫和变量没有关系,且()fx是连续函数,故10()ftdt∫为一常数,为简化计算和防止混淆,令10()ftdta=∫,则有恒等式()2fxxa=+,两边0到1积分得1100()(2)fxdxxadx=+∫∫,即[]111112000001(2)222axadxxdxadxxax=+=+=+∫∫∫122a=+,解之得12a=−,因此()21fxxax=+=−.(6)【答案】ab=【解析】如果函数在0x处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等,由函数连续性可知(0)(0)0ffaba−==+⋅=.而000sinsinsin(0)limlimlimxxxbxbxbxfbbbxbxbx++++→→→==⋅=⋅=,如果()fx在0x=处连续,必有(0)(0)ff−+=,即ab=.(7)【答案】2()dxxy+【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得2secydydxdy⋅=+,所以222sec1tan()dxdxdxdyyyxy===++,(0xy+≠).二、计算题(每小题4分,满分20分.)(1)【解析】令xue−=,vx=−,则arcsinarcsinxyeu−==,由复合函数求导法则,22211...
