2022考研数学全程班同步作业——《高分强化521》新浪微博@考研数学周洋鑫12022考研数学全程班作业答案——《高分强化521》15第4章常微分方程4.1线性微分方程通解结构【111】设二阶常系数线性非齐次方程()2exyaybycxd++=+有特解()222e1exxyx=+−，求该微分方程的通解，并求出常数a，b，c，d.解析：由题意可知通解为：22212xxxyCeCexe=++，其中1,2=为特征值，则特征方程为()()2120320−−=−+=，因此，齐次方程为320yyy−+=，故3a=−，2b=.将()22exyxx=代入可得()232exyyycxd−+=+可得()()()2222222e4823e222eexxxxxxxxxcxd++−++=+。化简得22xcxd+=+，所以2c=，2d=，即有3a=−，2b=，2c=，2d=.【112】求2cosyyxx+=+的通解。解析：0yy+=的通解为12cossinYCxCx=+.由于211coscos222yyxxxx+=+=++，（1）设12yyx+=+的特解为1yaxb=+，代入解得112yx=+；（2）设1cos22yyx+=的特解为2cos2sin2yAxBx=+，代入解得21cos26yx=−.故原方程的通解为121211cossincos226yYyyCxCxxx=++=+++−.【113】具有特解1xye−=，22xyxe−=，33xye=的三阶线性常系数齐次微分方程是（）.（A）0=+−−yyyy（B）0=−−+yyyy（C）06116=−+−yyyy（D）022=+−−yyyy解析：由题意可知：三阶线性常系数齐次方程通解为()123xxyCCxeCe−=++可得特征值为1231,1==−=故特征方程为：()()()32111=0+10++−−−=因此，该微分方程为0=−−+yyyy，选（B）.4.2微分方程综合题【114】已知曲线()()0,0yfxxy=连续且单调递增，现从其上任意一点A作x轴与y轴的垂线，垂足分别是B和C。若由直线AC，y轴和曲线本身包围的图形的面积等一笑而过考研数学2022考研数学全程班同步作业——《高分强化521》新浪微博@考研数学周洋鑫2于矩形OBAC的面积的13，求曲线的方程。解析：当()fx单调增加时，在曲线上任取点()(),Aafa。由题意得()()()01d3afafxxafa−=，化简得()()03d2afxxafa=。两边对a求导得()()()322fafaafa=+,化简得2ddfafa=，则()faCa=，于是所求曲线方程为yCx=（C为任意常数）。【115】设函数()fx在)1,+上连续，若由曲线()yfx=，直线1x=，()1xtt=与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为()()()213Vttftf=−，试求()yfx=所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件229xy==的解。解析：由题意()()()()2...
