收稿日期:2023-09-18作者简介:吕淑婷(1976—)女,陕西宝鸡人,副教授,主要从事数量经济、偏微分方程数值解研究。基金项目:宁夏自然科学基金项目(2022AAC03265);宁夏哲学社会科学规划项目(20NXBYJ05);宁夏一流建设学科(数学)大学生思想政治教育研究课题(sxylxk-sz202110);宁夏一流课程建设项目矩阵求逆方法探究吕淑婷,马泽玲(北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川750021)摘要:矩阵在高等代数中占有很重要的地位,是主要研究对象与研究工具,许多问题最终可化归为矩阵及其运算问题,而矩阵求逆是矩阵运算的核心问题.本文总结了矩阵求逆的常规方法:定义法、伴随矩阵法、初等变换法、待定元素法、公式法、借助计算机求逆之外,给出了几种其它的方法:矩阵分块法、利用Hamilton-Cayley定理、多项式法、利用Sherman-Morrison公式,并辅助例题加以阐述.拓宽了矩阵求逆的方法,为学习、教学提供更多参考.关键词:逆矩阵;Hamilton-Cayley定理;多项式法;Sherman-Morrison公式中图分类号:O151.2文献标志码:A文章编号:1008-3871(2024)02-0084-07DOI:10.16752/j.cnki.jylu.2024.02.017矩阵可逆性的判定及逆矩阵的求法是高等代数中的重点和难点问题,讨论矩阵的逆主要有两个问题:(1)矩阵是否可逆;(2)矩阵可逆时如何求逆。而如何求逆矩阵是非常重要的问题且有很多种方法,如利用多项式法求逆矩阵[1],利用初等变换法求逆矩阵[2],利用伴随矩阵、初等变换求逆矩阵[3],利用Hamilton-Cayley定理法、分块矩阵法几种求逆矩阵方法[4]。这些文献都针对某一种或几种方法进行了介绍,本文在上面文献的基础上比较全面的对求逆矩阵的方法进行了总结,探究了具体矩阵和抽象矩阵求逆的方法,并与计算机相结合辅助例题加以应用。1定义法设A是n级矩阵,若存在n级矩阵B使得AB=BA=E,则A可逆,且A-1=B。(1)具体数字矩阵的求逆例1设A=a1a2⋱anæèççççççöø÷÷÷÷÷÷(a1a2…an≠0)因a1a2⋱anæèççççççöø÷÷÷÷÷÷1a11a2⋱1anæèççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷=11⋱1æèçççççöø÷÷÷÷÷,则A-1=1a11a2⋱1anæèççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷。(2)抽象矩阵的求逆2024年3月第34卷第2期榆林学院学报JOURNALOFYULINUNIVERSITYMar.2024Vol.34No.2例2已知矩阵A满足A2-A-2E=O,证明A可逆,并求A-1。证明因A(A-E)=2E,|A||A-E|=2所以A可逆,且A-1=12(A-E)。2伴随矩阵法因为AA∗=A∗A=|A|E(其中A∗是A的伴随矩阵),若|A|≠0,则A-1=A∗|A|。例3设A=12...
