借助三角形外心 巧妙求解参数值--对一道向量题的探究.pdfVIP免费

借助三角形外心巧妙求解参数值———对一道向量题的探究◉江苏省无锡市江阴长泾中学刘旭东平面向量同时兼备“数”的性质与“形”的特征,一直是历年高考数学试题中的热点题型之一．而在平面向量中融入三角形的基本特征,设置创新新颖,内涵丰富多彩,破解思维多变,是数学知识、数学思想方法和数学能力交汇与融合的一大主阵地,具有很好的选拔性与区分度,倍受各方关注．１问题呈现问题[２０２１年第六届湖北省高三(４月)调研模拟考试数学试卷􀅰８]在△ABC中,AB＝４,AC＝６,BC＝５,点O为△ABC的外心,若AO→＝λAB→＋μAC→,则λ＋μ＝()．A．２３B．３５C．４７D．５９此题以三边长确定的三角形为问题背景,结合三角形的外心,通过含参的平面向量的线性关系式的设置,来确定对应的两参数的和．破解时,可以从平面向量角度、解三角形角度、坐标角度等切入,利用不同的方法来处理与求解．２问题破解方法１:数量积转化法．图１解析:由题意可知|BC→|２＝(AC→－AB→)２＝AB→２＋AC→２－２AB→􀅰AC→＝１６＋３６－２AB→􀅰AC→＝２５,则AB→􀅰AC→＝２７２．那么AB→􀅰AO→＝AB→􀅰(λAB→＋μAC→)＝λAB→２＋μAB→􀅰AC→＝１６λ＋２７２μ;AC→􀅰AO→＝AC→􀅰(λAB→＋μAC→)＝λAB→􀅰AC→＋μAC→２＝２７２λ＋３６μ．如图１,过外心O作OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E,则D,E分别为AB,AC的中点．所以AB→􀅰AO→＝AB􀅰AO􀅰cos∠OAB＝AB􀅰AD＝４×２＝８;AC→􀅰AO→＝AC􀅰AO􀅰cos∠OAC＝AC􀅰AE＝６×３＝１８．所以由１６λ＋２７２μ＝８,２７２λ＋３６μ＝１８,ìîíïïïï解得λ＝４３５,μ＝１６３５．ìîíïïïï于是λ＋μ＝４３５＋１６３５＝４７．故选择答案:C．点评:结合平面几何的图形特征,通过辅助线的构建,借助三角形外心的实质,综合平面向量的数量积以及直角三角形的定义加以转化,建立两参数的方程组,利用方程组的解来确定相应的参数值,进而求解两参数的和．合理利用平面向量的线性关系,结合向量数量积公式的应用加以巧妙转化,这是破解此类平面向量计算问题的常见方法．图２方法２:解三角形法．解析:如图２,延长AO交BC于点D．根据余弦定理,可得cos∠ABC＝a２＋c２－b２２ac＝１８．由同角三角函数基本关系式,得sin∠ABC＝１－cos２∠ABC＝３７８．根据正弦定理,得ACsin∠ABC＝２OA＝２OB,解得OA＝OB＝８７７．在△OAB中,根据余弦定理,得cos∠OAB＝４２＋８７７æèçöø÷２－８７７æèçöø÷２２×４×８７７＝７４．由同角三角...