数学版２０２３年１１月１日第２１期Ｎｏｖ.２０２３Ｖｏｌ.３０Ｎｏ.２１教材中平面向量数量积分配律的证明步骤“啰嗦”吗?陈超(六盘水市第四中学贵州六盘水５５３０００)摘要:２０１９年人教Ａ版教材中关于平面向量数量积分配律的证明步骤有“啰嗦”之嫌.文章对这个问题进行了深入的交流、讨论与探究ꎬ尝试理解教材的编写意图ꎬ得到了教材是否“啰嗦”需要一分为二来看的结论.关键词:教材ꎻ平面向量数量积分配律ꎻ质疑ꎻ思辨作者简介:陈超(１９８９－)ꎬ男ꎬ湖北应城人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ研究方向:中学数学教学.新课程新教材新高考都对学生有一个明确的要求ꎬ那就是具备关键能力.关键能力的获得依赖于平时的数学品质ꎬ笔者认为学生最关键的品质是质疑和思辨.１精准定位ꎬ问题呈现面对教材中值得探讨的地方ꎬ要大胆质疑.笔者所教学生在阅读２０１９年人教Ａ版必修第二册教材时ꎬ发现第２０－２１页中关于平面向量数量积分配律的证明步骤有“啰嗦”的嫌疑ꎬ如下:｜ａ＋ｂ｜ｃｏｓθｅ＝｜ａ｜ｃｏｓθ１ｅ＋｜ｂ｜ｃｏｓθ２ｅꎬ(１)整理ꎬ得(｜ａ＋ｂ｜ｃｏｓθ－｜ａ｜ｃｏｓθ１－｜ｂ｜ｃｏｓθ２)ｅ＝０.所以｜ａ＋ｂ｜ｃｏｓθ－｜ａ｜ｃｏｓθ１－｜ｂ｜ｃｏｓθ２＝０.即｜ａ＋ｂ｜ｃｏｓθ＝｜ａ｜ｃｏｓθ１＋｜ｂ｜ｃｏｓθ２.(２)学生认为上述证明过程比较“啰嗦”ꎬ(１)式到(２)式间的两个步骤是多余的ꎬ可以省略.于是便产生了一场围绕它的交流、讨论、探究、思辨的过程.因为｜ａ＋ｂ｜ｃｏｓθꎬ｜ａ｜ｃｏｓθ１ꎬ｜ｂ｜ｃｏｓθ２这三个数都是实数ꎬｅ是单位向量也即非零向量ꎬ为了叙述方便ꎬ可将此问题简化为:能否直接由(３)式———λａ＝λ１ａ＋λ２ａ(其中ꎬλꎬλ１ꎬλ２∈Ｒꎬａ≠０)得到(４)式———λ＝λ１＋λ２.２精准把脉ꎬ拨开迷雾师生讨论交流片段１.生１:这个证明步骤涉嫌“啰嗦”的理由是:只要(３)式左右两边同时除以ａ就可以得到(４)式ꎬ中间的步骤是多余的.这也是大部分同学最开始的想法.师:教材中有介绍平面向量的除法吗?生:没有!师:平面向量有除法吗?生:陷入沉默.这正好是学生知识储备不足和认知不足之处ꎬ于是笔者带领学生通读教材ꎬ查阅文献ꎬ对这个问题进行探究和思辨.２.１平面向量有除法吗?教材的编写非常注重两点:一是整体贯通ꎻ二是相互联系.教材在编写时从整体出发ꎬ按知识发展、背景问题、思想方法、核心素养四个维度ꎬ对全书的主题、章、节做了整体设计ꎬ实现整体贯通ꎻ教材为了尽...
