变分法研究一类分数阶微分方程边值问题解的存在性黎文博，周文学**，吴亚斌，张敏(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州730070)摘要：利用一类分数阶微分方程边值问题的变分法,建立了该边值问题解存在的充分条件.然后将问题归结为一个等价的积分形式,使得边值问题的解被定义为对应泛函的临界点.最后利用山路引理，建立了该边值问题解的存在性.关键词：临界点理论；变分法；边值问题；梯度中图分类号：O175.8文献标志码：A文章编号：0258−7971(2024)02−0201−12分数阶微分方程一直备受关注，这是因为分数阶微积分理论本身的深入发展以及这种结构在物理、力学、化学、工程、生物学、地质学以及控制理论、信号理论、纳米科学等各个科学领域的应用[1-3].其中，分数阶微分方程边值问题作为分数阶微分方程理论中的一个重要问题，也得到众多学者关注，但其绝大部分工作均基于Riemann-Liouville或Caputo分数阶导数[4-9].临界点理论在处理具有某些边界条件的整数阶微分方程解的存在性和多重性方面非常有用[10-13].但是到目前为止，利用临界点理论，通过变分方法来研究分数阶边值问题解的存在性报道相对较少[14-21].Jiao等在文献[17]中利用临界点理论研究了分数阶边值问题{tDαT(0Dαtu(t))=∇F(t,u(t)),t∈[0,T],u(0)=u(T)=0α∈(0,1]0DαttDαTF:[0,T]×RN→R∇F(t,x)解的存在性.其中，和分别为左、右Riemann-Liouville分数阶导数，是给定的函数，为F在x处的梯度.Bai等在文献[18]中利用变分方法研究了扰动非线性分数阶边值问题{tDαT(0Dαtu(t))=λa(t)f(u(t))+µg(t,u(t)),u(0)=u(T)=0α∈(0，1]0DαttDαTλ,µa:[0,T]→R,F:R→R和g:[0,T]→R解的存在性.其中，和分别为左、右Riemann-Liouville分数阶导数，为非负参数，是3个连续的函数.受以上工作启发，本文利用临界点理论，通过变分方法研究分数阶边值问题(BVP)���ddtÅ12c0Dβt(u2(t))+12ctDβT(u2(t))ã+∇F(t,u(t))=0,u(0)=u(T)=0(1)c0DβtctDβT2⩽β<3F:[0,T]×RN→R∇F(t,u(t))解的存在性.其中和分别为阶左、右Caputo分数阶导数，是一个连续函数，为F在x处的梯度.收稿日期：2022-10-27；接受日期：2023-04-02；网络出版日期：2023-12-05基金项目：国家自然科学基金（11961039）；兰州交通大学校青年科学基金（2017012）.作者简介：黎文博（1998−），男，甘肃人，硕士生，主要研究分数阶微分方程.E-mail：wbli2022@126.com.**通信作者：周文学（1976−），男，甘肃人，博士，教授，主要研究非线性...
