１８０§4.6线性谐振子与占有数表象重点：产生算符和湮灭算符，占有数表象难点：用产生算符和湮灭算符求解线性谐振子本征问题本节我们引进新算符aˆ，+aˆ，并用之于线性谐振子能量本征问题的求解，同时介绍占有数表象。一、引进新算符1.定义：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂μω+α=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω+α=xx2pˆix2aˆh⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂μω−α=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω−α=+xx2pˆix2aˆh()1其中hμω=α，x，pˆ为厄米算符。说明：a.由于+≠aˆaˆ，故aˆ不是厄米算符。b.[]1aˆ,aˆ=+()2解释：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω−α⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω+α=+pˆix2,pˆix2aˆ,aˆ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡μω+⎥⎦⎤⎢⎣⎡μω−α=x,pˆipˆi,x22[][]{}x,pˆpˆ,xi22+−μωα=而[]hipˆ,x=所以[]+aˆ,aˆ()1i2i22=μωμω=−μωα=hhh１８１2.aˆ，+aˆ的意义令xxα≡μω=ξh，则：ξ∂∂α=ξ∂∂∂ξ∂=∂∂xx所以ξα=1x，ξ∂∂α−=hipˆ而⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω+α=pˆix2aˆ；⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω−α=+pˆix2aˆ则：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω+α=pˆix2aˆ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ξ∂∂+ξ=21⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛μω−α=+pˆix2aˆ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ξ∂∂−ξ=21()3于是把aˆ作用于谐振子的第n个本征态nψ上有：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡ξ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ξ∂∂+ξ=ξψξ−n21nnHe2Naˆ2()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡ξ+ξξ−ξξ=ξ−ξ−ξ−'n21n21n21nHeHeHe2N222()ξ=ξ−'n21nHe2N2而()()ξ=ξ−1n'nnH2H则：)(aˆnξψ＝)(nH2e2N1n21n2ξ−ξ−＝)(HeNNNn21n211n1nn2ξ−ξ−−−＝)()!1n(2!n2n21n1nnξψ−παπα−−＝)(n1nξψ−１８２即：)x(aˆnψ＝)x(n1n−ψ(4)同理得：)x(aˆnψ+＝)x(1n1n+ψ+（学生自己证）。以上讨论都是在x表象中进行的，下用Dirac符号表示上式。由于)x(nψ＝nx（x表象）则：)x(aˆnψ＝)x(n1n−ψ⎯⎯⎯⎯⎯→⎯符号表象的Diracxnxdxxaˆx'''∫＝1nxn−)x(aˆnψ+＝)x(1n1n+ψ+⎯→⎯nxdxxaˆx'''+∫＝1nx1n++利用x的本征矢的封闭性可进一步简化为：1nxnnaˆx−=；1nx1nnaˆx++=+若不用具体表象可写为：⎪⎩⎪⎨⎧++=−=+1n1nnaˆ1nnnaˆ(5)下面讨论(5)的物理意义：（此处借用§2.7的解）n、1n−和1n+为Hˆ的本征刃，对应于Hˆ的本征值分别为nE、1nE−和1nE+。由nE＝ω+h)21n(＝ω+ωhh21n可知，谐振子的能量nE等于ωh的n倍加零点能ωh21。谐振子的能量只能以ωh为单位改变，可把这个能量单位ωh看作一个粒子，则本...
