１０５§3.4氢原子重点：氢原子本征问题的结果难点：氢原子本征问题的求解过程上面我们讨论电子在核所产生的电场中运动时，选取了核的位置作为坐标原点。如把以上结果直接应用到氢原子，则只有当原子核固定的时候，才完全准确，即把核的质量看作无穷。实际上核的质量是有限的，在库仑力的作用下，核与电子都绕它们的质心运动。（当然质心位置非常接近核的中心）。于是氢原子问题成为两体问题。在经典力学中两体问题可归结为单体问题，在量子力学中，也可以这样做，引入电子相对核的坐标和质心在空间的坐标，可把两体薛定鄂方程分解为质心运动方程和一个电子相对核的运动方程。一、两体问题化为单体问题：由多粒子体系的薛定谔方程得：)t;z,y,x;z,y,x(ti222111Ψ∂∂h＝)zyx(2[21221221212∂∂+∂∂+∂∂μ−h]U)zyx(222222222222+∂∂+∂∂+∂∂μ−h)t;zx(21……Ψ(1)其中1μ、2μ分别为电子与核的质量。引入相对坐标和质心坐标：⎪⎩⎪⎨⎧μ+μμ+μ=−=21221121rrRrrrrrrrrr，电子相对于核的坐标的分量为：１０６21xxx−=，21yyy−=，21zzz−=(2)质心坐标的分量为：MxxxxX2211212211μ+μ=μ+μμ+μ=MyyyyY2211212211μ+μ=μ+μμ+μ=MzzzzZ2211212211μ+μ=μ+μμ+μ=(3)其中21Mμ+μ=为体系的总质量。则：xXMxxxXxXx1111∂∂+∂∂μ=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂)xXM(x1212∂∂+∂∂μ=∂∂)xXM(1∂∂+∂∂μ=222122221xxXM2XM∂∂+∂∂∂μ+∂∂μ同理：=∂∂222x222222222xxXM2XM∂∂+∂∂∂μ−∂∂μ同理可得：212y∂∂、222y∂∂、212z∂∂和222z∂∂的变换式。把这些式子代入薛定谔方程(1)中，可得到以相对坐标和质心坐标表示的体系薛定鄂方程：)t,Z,Y,X,z,y,x(tiΨ∂∂h)ZYX(M2[2222222∂∂+∂∂+∂∂−=h)]z,y,x(U)zyx(22222222−∂∂+∂∂+∂∂μ+h)t,Z,,x(……Ψ(4)１０７式中2121μ+μμμ=μ称为约化质量（或折合质量）。采用分离变量法，设)t()Z,Y,X()z,y,x(χΦΨ=Ψ代入薛定鄂方程(4)且遍除χΨΦ得：total2222E)z,y,x(U12)(1M2dtdi令相对质心=+Ψ∇Ψμ−Φ∇Φ−=χχhhh则：总Edtdi=χχh，其解为tEiCe)t(总h−=χtotal2222E)z,y,x(U121M2=+Ψ∇Ψμ−Φ∇Φ−相对质心hh而Φ∇Φ−221M2质心h和)z,y,x(U1222+Ψ∇Ψμ−相对h应分别等于常数，令为EEtotal−和E则：Ψ=Ψ+Ψ∂∂+∂∂+∂∂μ−E)z,y,x(U)zyx(22222222h(5)Φ−=Φ∂∂+∂∂+∂∂−)EE()ZYX(M2total2222222h(6)二、单体方程的解1.质心方程：Φ−=Φ∇−=Φ∂∂+...
