２６５§6.3方形势阱与势垒所产生的散射一、方形势阱产生的散射作为分波法的一个例子，讨论低能粒子受球对称方势阱的散射。因为入射粒子的能量E很小，所以Epμλ2//hh==很大，即a>>λ（方势阱的范围）。⎩⎨⎧>≤=ararUrU,0,)(0在粒子物理中：410eV以下为低能；9410~10eV为中能；11910~10eV为高能；1110eV以上为超高能。由于a>>λ，即ak>>/1，也就是1<），22/2hEkμ=，2022/2'hUkkμ−=，2002hUkμ=，方程的解为：)'sin('0δ+=rkAui，)sin(0δ+=krBuo。由标准化条件rruR)(=在0=r处有限，即有0)0(=iu，即0)'sin(0'0=+=rrkAδ，于是有0'0=δ，所以rkArui'sin)(=。由几率流连续知：ariiaroodrduudrduu===11，可以得到：actgkkkakctg'')(0=+δ，即)(''0δ+=katgatgkkk，得到相移为２６６kaatgkkkarctg−=]''[0δ，总散射截面为：])''([sin4sin4220220kaatgkkkarctgkkQQ−==≈πδπ。在粒子能量很低，即0→k时（因为0→x时，xarctgx≈），且0'kk≈，所以1]1[000<<−=akatgkkaδ，2002202022)1(44sin4−≈=≈akatgkakkQπδπδπ。(*)二、方势垒产生的散射（00>U）对于阱的情况：20222'hUkkμ−=，20222'hUkkμ+=，当0→k时，0'kk=。对于垒的情况：00>U，20222'hUkkμ−=，当0→k时，2022'hUkμ−≈，0202ikUik=≈hμ，把(*)中的0k换为0ik，则当0→k时总散射截面为：2002]1)([4−≈aikaiktgaQπ，因为２６７aithkeeeeieeieeaikaikaiktgakakakakaiikaiikaiikaiik0000000000002/)(2/)()cos()sin()(=+−=+−==−−−−所以2002]1)([4−≈akakthaQπ。当∞→0U时，∞→0k，则有1)(00000→+−=−−akakakakeeeeakth，所以有22024]11[40aakaQkππ=−≈⎯⎯→⎯∞→。在这种情况下，总散射截面等于半径为a的球面面积，这与经典情况大不相同，在经典情况下，总散射截面是硬球的最大截面面积2aπ，所以量子力学中的散射截面比经典物理中的大4倍。以上是给定)(rU计算lδ和Q，若不知)(rU，可由实验测定lδ和Q，通过分波法来确定)(rU，这是研究基本粒子之间相互作用常用的方法。
