１１３§3.5厄米算符本征函数的正交性重点：厄米算符本征函数的正交性证明难点：厄米算符本征函数的正交性的意义研究本征函数系的一般性质，对以后的理论发展和应用大有用处。一、两函数正交的定义：三维空间中二矢量正交：0RrRrRrRrRr31iii332211==++=⋅∑=rrN维空间中二矢量正交：0vuvuiN1ii==⋅∑=rr对于二实函数)x(),x(21ΨΨ，也可看成二矢量（在第四章具体证明），但因)x(),x(21ΨΨ随x连续变化，原来取和变成积分，这时正交定义为：0dx)x()x(21=ΨΨ∫类似的有：0d)r()r(21=τΨΨ∫rr，积分对rr变化的全部区域进行。若)r(),r(21rΨΨ是复函数，且满足关系式：0d)r()r21=τΨΨ∫rr（全部区域，则称为两函数)r(),r(21rΨΨ相互正交。例如：动量本征函数)r(prrΨrpi2/3e)2(1rrhh⋅π=，则：0)pp(d)r()r(pppp′≠′=′−δ=τΨΨ∫vvvvvvvv１１４这就是说属于动量算符不同本征值的两个本征函数)r(),r(pp'rrrΨΨ相互正交。二、厄米算符属于不同本征值的本征函数正交：（定理内容）1.非简并情况：设……Φ……ΦΦΦn321,,,是厄米算符Fˆ的本征函数，它们所属本征值……λ……λλλn321,,,各不相等，则：0dk=τΦΦ∗∫l（)kl≠证明：因kkkFˆΦλ=Φ；lllΦλ=ΦFˆ，则有：=τΦΦ∗∫d)Fˆ(kllΦΦλ∗∫kkτd∫τΦΦλ=∗dkkl=τΦΦ∫∗dFˆkl∫τΦΦλ∗dkll而=τΦΦ∗∫d)Fˆ(klτΦΦ∫∗dFˆkl则：∫τΦΦλ∗dkkl∫τΦΦλ=∗dkll即：∫=τΦΦλ−λ∗0d)(kkll，而lλ≠λk所以：∫=τΦΦ∗0dkl（对于连续谱的情况同样可证）这就证明了无论Fˆ的本征值组成分立谱还是连续谱，属于不同本征值的本征函数都是正交的。说明：假若∫=τΦΦ∗1dkk，则：⎩⎨⎧=≠=δ=τΦΦ∗∫llllk,1k,0dkk１１５（lkδ是克隆尼克符号，简并情况“l,k”可理解对此算符的一组下标。）于是称……Φ……ΦΦΦn321,,,为厄米算符Fˆ的正交归一本征函数系。假若Fˆ的本征值组成连续谱，则代替上式有：)(d''λ−λδ=τΦΦλ∗λ∫⎩⎨⎧λ=λ∞λ≠λ='',,0于是称}{λΦ为厄米算符Fˆ的正交归一本征函数系。2.简并情况：如果Fˆ的一个本征值nλ是f度简并的，既有f个（而不是一个）本征函数nf3n2n1n,,,Φ……ΦΦΦ都属于相同的本征值nλ，而且是线性无关的，则有：ninniFˆΦλ=Φf21i……=、、则上面的证明不再成立。一般说这些函数并不一定正交。但我们总可以用2f个常数jiA把这f个函数线性组合成f个新的线性独立的待定函数njΨ，即：njΨnifijjiA...
