《数学之友》2023年第12期焦点弦创设，最小值求解解题探索一一道椭圆题的探究黄刚（安顺市民族中学，贵州安顺，561000）摘要：以两条正交弦（互相垂直的两条弦）为问题场景的圆锥曲线问题，是解析几何与函数、方程、不等式等交汇与综合应用的一个重要场所.本文借助一道模拟题中椭圆的两条正交弦的线性关系式的最值求解，从不同思维视角展开与应用，剖析解题技巧与方法，引领并指导解题研究与复习备考.关键词：椭圆；焦点弦；垂直；不等式；最小值圆锥曲线中焦点弦问题，一直是新高考数学与竞赛中比较常见的问题场景，特别是两条正交弦（互相垂直的两条弦）的情况有其自身特殊的意义与应用,是问题创设与创新应用中的重点与难点之一，倍受关注.1问题呈现【问题】（2023届浙江省金华十校2022年11月高三模拟考试数学试卷·16)已知幅圆T:云+y²=1，过椭圆右焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD,则IABI+4ICDI的最小值为此题以椭圆中的两条正交弦为问题背景，进而确定两弦长的线性关系式的最值，难度不小，同时也涉及到大量的数学运算与逻辑推理，需要合理交汇与融合函数与方程、不等式等相关知识,具有一定的创新性与应用性.2问题破解2.1思维视角1:分类讨论思维对于相关直线的斜率为0,斜率不存在以及一般情况下的直线方程，经常要通过分类讨论，结合不同场景下的具体情况来确定与分析.方法1：分类讨论+基本不等式法①解析：由题意,得α=2,c=/3,F（/3,0）,当AB为椭圆的长轴时，IABI=4，ICDI=1,可得1ABI+4ICDI=8;当CD为椭圆的长轴时，IABI=1,ICDI=4,可得IABI+4ICDI=17；当AB不为椭圆的长轴,且CD不为椭圆的长轴时,设直线AB的方程为α=my+64_数学之友[x=my+/33,A(x1,y1),B(x2,y2),由消元整理，[x?+42=4，2/3m得(m²+4)y2+2/3my-1=0,y1+y2=m+4J1y2=1所以1AB|=/m²+11y1-y2|=/m+1.m°+4V(yity2)°-4yiy2=m+1.m²+12用替换m,ICDI=4m²+4mm°+1IABI+41CDI=44m²+14(m2-4m*+17m²+4)t1≤4t?+25t+25254t+-+252元4tx-+25tt255当4t=,t=t2:4m+17m+4)41CDI=42-9·136455°所以IABI+4ICDI的最小值为522/3m+2m+4m?+415+11m1+4m2m2+1m²+1+16m°+44m²+148m*+25m²+17(m²+4°4m²+1)4m*+17m²+4m²-1m²-1m1=t,4m*+17m²+411当且仅25457即m时等号成立，所以IABI+2m²-136142-9《数学之友》解后反思：根据焦点弦的不同情况加以分类讨论，合理设置对应的直线方程，利用直线与椭圆的方程联立，结合函数与方程思想，并根据弦长公式，借助代换思维确定另一弦长，再通过两相互垂直的焦...
