２６８§6.4Born近似在实际计算中分波法只适用于低能散射。当入射粒子的动能比相互作用势能)(rU大很多时，分波法不再适用。但这时可把)(rU视为微扰，用下面的玻恩近似法处理。玻恩近似方法适用于粒子的高能散射。一、玻恩近似法体系的哈密顿为'ˆˆˆ0HHH+=，其中μ2ˆˆ20pH=，)('ˆrUH=，0ˆH的本征函数为rkipeLrrr⋅=2/31)(ψ描写在体积为3L内有一个粒子，可以认为：动量为krh的入射粒子由于受到微扰)(rU作用跃迁到动量为'krh的末态。因为是弹性散射，所以能量守恒，即μμ2'22222kkhh=，也即22'kk=。入射粒子流强度为32)(−==vLvrNpψ，μkvh=。单位时间内散射到立体角Ωd内的粒子数为Ω=Ω=−dqvLdNqdn),(),(3ϕθϕθ，（1）另外，由（5.7－8，P156）知动量大小为kh、方向在立体角Ωd内的末态的态密度是Ω=kdLmhhμπρ3)2()(，代入黄金规则（)('22'mHwkkρπh=）得单位时间内散射到立体角Ωd内得粒子数为Ω−==∫⋅−−−kdLrderULmHdnrkkikkhhrrhhrrrμππρπ32)'(32')2()(2)('2２６９＝Ω−∫⋅−−−drderUvkvLrkki2)'(323)(4rrhrrrπμ，与（1）式比较，且注意到μkvh=，可得：2)'(422)(4)(∫⋅−−=rderUqrkkirrhrrrπμθ。负号是因为用其方法算出得散射振幅)(θf有一负号。引入kkKrrr−='，2sin2θkK=，θ是散射角，Krh是散射引起得动量改变量。∫∫∫∫∫−∞⋅−⋅−==ππθϕθθ020'cos02)'(''sin)()()(ddedrrrUrderUrderUiKrrKirkkirrrrrrrrr=∫∫∞∞−=000'cos2sin)(421)(KrdrrrUKeiKrdrrrUiKrπππθ,所以20242sin)(4)(∫∞=KrdrrrUKqhμθ。若知)(rU，可计算微分散射截面。二、玻恩近似法的适用条件当入射粒子能量很高时，玻恩近似方法越适用。该书是以球形对称方势垒和势阱为例讨论玻恩近似方法得适用条件，这种讨论不太好（可自己看）。⎩⎨⎧>≤=ararUrU,0,)(0（势垒的情况）如果散射波的相移小，特别是s分波的相移很小，就说明势场对散射２７０波的影响小，通过分析s分波相移，可得Born近似成立的条件。把2/10)1('EUkk−=代入（6.3－4）式得：])1([)1()(2/102/100EUkactgEUkkakctg−−=+δ，当粒子能量很高时，0UE>>，则EUEU21)1(02/10−≈−，则EkaUkaEUka2)1(02/10−≈−]2[)(00EkaUkakctgkakctg−≈+δ，1200<<==EkaUδ。（→<<10δ)(rU得影响很小→把)(rU作为微扰越合理→微扰法算的结果越准确→玻恩近似法越合用。）vkkE2222hh==μ，速度大能量就高。（对势阱的情况就不讲了）三、举例对α粒子的高能散射：把arsereZZrU/2')(−−=代入微分散射截面有2224422220242)/1(1'4sin)(4)(aKeZZKrdrrrUKqs+==∫∞hhμμθ，若12sin2>>=θkaKa时(这是经典力学方法可用的条件，θ角要大)，２７１则有22244222)/1(1'4)(aKeZZqs+=hμθ2/sin161'41'44444222444222θμμkeZZKeZZsshh=≈=2/sin14'442422θμveZZs——Rutherford散射公式。
