２０３§5.2简并情况下的微扰理论重点:简并情况下的微扰理论的应用难点:简并情况下的微扰理论的应用如果)0(nE简并，上节的微扰论公式就不再适用。实际问题中，非简并的例子很少，多数问题是能级简并情形。如氢原子，只有基态(1n=)时，可应用上节公式计算修正项。假设有两个态jψ和'jψ，它们所属能级为jE和'jE，且'jjEE=，即这两态属于同一能级，由于第'j态应包含在公式的求和式中，因而分母出现零的情况，造成困难。我们就需另外探讨一种方法。假设)0(nE是k度简并，即属于)0(Hˆ的本征值)0(nE有k个本征函数k21,...,,φφφ，本征方程为：i)0(ni)0(EHˆφ=φ(k,...,3,2,1i=)(1)在简并情况下，我们只讨论波函数的零级近似和能量的一级修正。一、从k个iφ中选取零级近似波函数)0(nψ作为零级近似波函数必须使上节方程(9))0(n)1(n)1(n)0(n)0()E'Hˆ()EHˆ(ψ−−=ψ−有解。虽然我们不知道零级近似波函数究竟是k个简并本征函数中的哪一个，但总可以将零级近似波函数)0(nψ写成带有待定系数的k个iφ的线性组合的形式，即：∑=φ=ψk1ii)0(i)0(nc(2)２０４其中假设)k,...3,2,1i}({i=φ是正交归一的，否则可通过Schmit方法化为正交归一的。二、确定系数)0(ic和能量的一级修正将(2)式∑=φ=ψk1ii)0(i)0(nc代如上节的(9)式)0(n)1(n)1(n)0(n)0()E'Hˆ()EHˆ(ψ−−=ψ−得：ik1i)0(ik1ii)0(i)1(n)1(n)0(n)0('HˆccE)EHˆ(φ−φ=ψ−∑∑==以*lφ左乘上式两边且对整个空间积分有：τφφ−τφφ=τψ−φ∑∫∑∫∫==d'HˆcdcEd)EHˆ(ik1i*)0(ik1ii*)0(i)1(n)1(n)0(n)0(*lll而i)0(ni)0(EHˆφ=φ则上式左边为零，即：∑==δ−k1i)0(ii)1(ni0c)E'H(ll(k,...,3,2,1=l)(3)其中∫τφφ=d'Hˆ'Hi*ill。写成矩阵的形式为（第一行是1=l，第二行是2=l，等等）0c...ccE'H...'H'H............'H...E'H'H'H...'HE'H)0(k)0(2)0(1)1(nkk2k1kk2)1(n2221k112)1(n11=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−这实际上是以系数)0(ic为未知量的一次线性齐次方程组，它有不全为零的解的充分必要条件是应满足一个特征方程，即久期方程：２０５0'H...'H'H............'H...E'H'H'H...'HE'Hkk2k1kk2)1(n2221k112)1(n11=−−(4)由此可解得能量的一级修正)1(nE的k个根)1(njE(k,,3,2,1jL=)。说明：a.能量一级近似值为)1(nj)0(nnjEEE+=；b.)1(nj)0(nnjEEE+=所对应的零级近似波函数)0(njψ的求解：将每个)1(njE的值代入(3)式∑==δ−k1i)0(ii)1(ni0c)E'H(ll中...
