１１９§3.6算符与力学量的关系重点:完全性关系，算符与力学量的关系的基本假设难点:完全性关系一、厄米算符的本征函数的完全性1.复习§3.1的两个假定假定1：量子力学中的每个力学量用一个线性厄米算符表示。假定2：算符Fˆ的本征值集合即是测量体系力学量F可能得到的所有量值；体系处在Fˆ的属于本征值的本征态nψ时，测力学量F，得到确定值nλ。但是在任意态ψ中（非Fˆ的本征态），此时Fˆ与代表的力学量F的关系如何？这需引进新的假设，适合于一般情况，且不能与假定2相抵触，应包含它。2.完全性：若Fˆ是满足一定条件⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ΦΦ级数收敛的平方可积的nnFˆ)2(Fˆ)1(的厄米算符，且它的正交归一的本征函数系)x(1Φ、)x(2Φ…)x(nΦ…对应的本征值为1λ、2λ…nλ…，则任一函数)x(Ψ可以按)x(nΦ展为级数：)x(C)x(nnnΦ=Ψ∑①式中nC是与x无关的展开系数。我们称本征函数)x(nΦ的这种性质为完全性，或者说)x(nΦ组成完全系。１２０说明：①展开系数∫ΨΦ=∗dx)x(Cnn以)x(m∗Φ左乘)x(C)x(nnnΦ=Ψ∑，且对x的整个区域积分有mmnnnmnnnnnmmCCdx)x()x(Cdx)x(Cdx)x()x(=δ=ΦΦ=ΦΦ=ΨΦ∑∫∑∑∫∫∗∗∗即：∫ΨΦ=∗dx)x(Cnn②②表示力学量的算符是厄米算符，不管它是否满足完全性关系要求的条件，都可以直接将数学上证明过的定理拿来就用，即假定力学量算符本征函数的正交归一系具有完全性。3.展开系数2nC的物理含义：设)x(Ψ为归一化的波函数，则根据)x(nΦ是正交归一化的完全函数系，有：1dx)x()x(ΨΨ=∫∗=dxCCnnnmmmΦ⋅Φ∑∫∑∗∗==ΦΦ∗∗∫∑dxCCnmnn,mmn,mnn,mmCCδ∑∗2nnC∑=即：1C2nn=∑因左边是总几率，所以2nC有几率的意义。例：若)x(Ψ是算符Fˆ的一个本征态，例如)x(Ψ)x(iΦ=则：)x(Ψ=Φ=∑nnnC)x(iΦ１２１⎩⎨⎧≠====in,0)1C(in,1CCiin按假设2，在该态中测得Fiλ=的几率是1C2i=，其中nC也可由②式求得。由此特例同样可以看出2nC具有几率的意义，即2nC表示了在)x(Ψ态中测量力学量F得到的结果是Fˆ的本征值nλ的几率，于是称nC为几率振幅。二、基本假设（力学量与算符的关系）假设3：在)x(C)x(nnnΦ=Ψ∑（nΦ是Fˆ的本征函数）描写的态中，测量体系的力学量F得到nλ的几率是2nC，其中dxCnnΨΦ=∗∫。综合假设31−可得一个基本假定（基本原理），即量子力学中关于力学量与算符关系的基本假设：量子力学中表示力学量的算符Fˆ都是线性厄米算符，它们的本征函数组成正交归一的完全系{}nΦ；当体系处于波函数...
