４５§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律重点：几率分布连续性方程的内容及其物理含义难点：几率流密度矢量在非相对论量子力学中，粒子数守恒、质量守恒、电荷守恒、总几率守恒成立。本节旨在根据波函数的统计解释和薛定谔方程寻求几率流密度矢量的表示，以表达诸守恒定律。一、几率分布随时间的变化及连续性方程1.几率分布随时间的变化)t,r(vΨ描写态，2Ψ描写几率分布，若按2Ψ的相对强度在空间涂黑，即形象如一团云，俗称几率云。假设有很大数目的N个相同的但独立的粒子，同处于Ψ态，则2NΨ表示粒子数在空间的分布。Ψ不断随t变化，分布2Ψ及2NΨ也不断变化，求解薛定谔即可得到它们的变化规律。因总几率守恒：∫∞=Ψ12τd，则∫∞=ΨNN2，如有的区域2NΨ增加，必然有区域2NΨ减少，说明有一定数目的粒子从一个区域转移到了另一区域。寻求一个几率流密度矢量来表示单位时间内穿过单位面积的几率（几率流动），则会使图象更明确。2.几率分布的连续性方程：在时刻t、rv点周围单位体积内粒子出现的几率,即几率密度为：)t,r()t,r()t,r(*vvvΨΨ=ω（假设Ψ归一化）(1)几率密度随时间的变化率是：Ψ∂Ψ∂+∂Ψ∂Ψ=∂ω∂ttt**(2)４６写出S.方程及其共轭复数方程：（注意)r(Uv为real）Ψ+Ψ∇μ=∂Ψ∂)r(Ui12it2vhh(3)**2*)r(Ui12itΨ−Ψ∇μ−=∂Ψ∂vhh(4)将(3)、(4)式代入Ψ∂Ψ∂+∂Ψ∂Ψ=∂ω∂ttt**,有：**2*2*)r(Ui12i)r(Ui12itΨΨ−ΨΨ∇μ−ΨΨ+Ψ∇μΨ=∂ω∂vhhvhh)(2i*22*Ψ∇Ψ−Ψ∇Ψμ=h即：)(2it**Ψ∇Ψ−Ψ∇Ψ⋅∇μ=∂ω∂h令：)(2iJ**Ψ∇Ψ−Ψ∇Ψμ≡hv(5)则：0Jt=⋅∇+∂ω∂v—几率分布的连续性方程(6)对空间任意一个体积V求积分：∫∫τ⋅∇−=τ∂ω∂VVdJdtv利用高斯(Gauss)定理有（外法向为正），有：∫∫∫−=⋅−=τωVSSndSJSdJddtdvv(7)其中nJ为界面S上的法向分量。上式表示单位时间内体积V中几率的增加，等于通过V的界面S流进来的几率，Jv—几率流密度矢量。讨论：４７①如果波函数在无穷远处为零，将积分区域V扩展到整个空间，则：0dSJSdJSSn==⋅∫∫∞→∞→vv而∫∫∫−=⋅−=τωVSSndSJSdJddtdvv则：0ddtdddtd*=τΨΨ=τω∫∫∞∞即在整个空间内找到粒子的几率与t无关，总几率守恒。②若∫∞=τΨ1d2，则归一化性质不随时间改变。二、粒子数、质量、电荷守恒定律以粒子数N（很大）乘上ω和Jv，则：2N)t,r(NNvΨ=ω=ω表示在时刻t，在点)z,y,x(的粒子数密度；)(N2iJNJ**NΨ∇Ψ−Ψ∇Ψμ==hvv表示...
