２０２４年１月第４７卷第１期四川师范大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｉｃｈｕａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ｊａｎ．２０２４Ｖｏｌ．４７，Ｎｏ．１收稿日期：２０２２０４０１接受日期：２０２２０５２７基金项目：国家自然科学基金（１２０７１３２５）通信作者简介：舒乾宇（１９８２—），教授，主要从事半环理论的研究，Ｅｍａｉｌ：３４９５６２２９＠ｑｑ．ｃｏｍ引用格式：游昌禄，舒乾宇．交换半环上半模的ｕ内积［Ｊ］．四川师范大学学报（自然科学版），２０２４，４７（１）：３２４０．交换半环上半模的ｕ内积游昌禄，舒乾宇（四川师范大学数学科学学院，四川成都６１００６６）摘要：研究交换半环上半模的ｕ内积．首先，介绍ｕ内积的定义和在ｕ内积情况下标准正交的定义；然后，讨论正交集和正交子半模在ｕ内积定义下的性质；最后研究在ｕ内积情况下标准正交集的扩张问题．关键词：半模；标准正交集；ｕ内积；正交子半模；标准正交集的扩张中图分类号：Ｏ１５３．３文献标志码：Ａ文章编号：１００１８３９５（２０２４）０１００３２０９ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１８３９５．２０２４．０１．００４对于半环上半模的研究已经有很长的历史．１９６６年，Ｙｕｓｕｆ［１］介绍了半环上逆半模的概念和一些与模理论相对应的定理．１９９９年，Ｇｏｌａｎ［２］系统介绍了半环结构及其一些应用；之后十余年，半环的研究被广泛地应用在计算机科学理论和密码学［３６］，研究者们也开始系统地研究半环上的线性代数理论．２０１４年，Ｔａｎ［７］和Ｓｈｕ等［８］在有限生成半模上给出了每组基有相同基数的充要条件；同年，Ｔａｎ［９］研究了半模上的内积，在半域上研究了标准正交集的扩张问题，并提出一个开问题：每一组标准正交集可扩张成一组标准正交基的交换半环是什么半环？２０１６年，Ｓｈｉｔｏｖ［１０］对半模上标准正交集的ＳＯＳＥ性质（即半模上每一组标准正交集可扩张成一组标准正交基）进行了研究，得出整的ｚｅｒｏｓｕｍｆｒｅｅ半环满足ＳＯＳＥ性质的一些刻画，但是这些刻画在一般的半环上不成立．２０２２年，Ｓｈｕ等［１１］研究了子半模上正交集的性质并证明了子半模的正交补的正交补等于它本身的充要条件，随后给出了半模上的标准正交集可扩张成标准正交基的充要条件并用正交元和正交...
