１６０§4.3量子力学公式的矩阵表述重点：量子力学公式的矩阵表述难点：量子力学公式的矩阵表述的意义把在坐标表象中表示的量子力学公式在Q表象中表示出来就得到了公式的矩阵表述，以Q只有分立谱的情况为例。已知Qˆ的本征方程为：nnnuQuQˆ=，}{)x(un组成正交归一完全系，nQ为分立谱，则任一归一化的波函数)t,x(Ψ可按}{)x(un展开：)t,x(Ψ)x(u)t(annn∑=；)t,x(*Ψ)x(u)t(ammm∗∗∑=(1)一、平均值公式当波函数归一化时，平均值公式可写为：F∫Ψ=)t,x(*Fˆ)t,x(Ψdx（坐标表象）把)t,x(Ψ)x(u)t(annn∑=及)t,x(*Ψ)x(u)t(ammm∗∗∑=代入得：F∫∑∗∗=)x(u)t(ammmFˆ)x(u)t(annn∑dx)t(an.mm∑∗=∫∗mu)x(Fˆnu)x(dx)t(an)t(an.mm∑∗=mnF)t(an(Q表象)即F()LL∗∗∗=m21aaa⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛OMOLmn211211FFFF⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛MMn21aaa可简单记为FΨΨ=+F。其中F，Ψ是力学量Fˆ和波函数)t,x(Ψ在Q表象中的表示。１６１二、Schrödinger方程在坐标表象中的Schrödinger方程是：ti∂∂h)t,x(Ψ)t,x(HˆΨ=把)t,x(Ψ)x(u)t(annn∑=代入上式,且左乘)x(um∗再对x变化的全部空间积分，得：dt)t(daimh)t(aHnnmn∑=(L,2,1m=)式中mnH=)x(um∫∗)xi,x(Hˆ∂∂hnu)x(dx是哈密顿算符Hˆ在Q表象中的矩阵元。写成矩阵形式为：ti∂∂h⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛MMm1aa＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛mnH⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛MMn1aa可简单记为：ti∂∂hΨΨ=H。三、本征值方程在坐标表象中的本征方程是：⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂xi,xFˆh)t,x(Ψλ=)t,x(Ψ把)t,x(Ψ)x(u)t(annn∑=代入且以∗mu左乘两边并对x的全部变化区域积分有：dx)x(u)t(audx)x(u)t(aFˆunnnmnnnm∑∫∑∫λ=∗∗，)t(aFnnmn∑∑λ=n)t(anmnδ∑λδ−nmnmn)F(0)t(an=(L,2,1m=)(Q表象)(2)１６２用矩阵写出就是：⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛λ−λ−λ−LLLLLLLLLLLLLLLLnn2n1nn22221n11211FFFFFFFFF⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛MMn21aaa＝0)2(′是一个线性齐次方程组，它有非零解的条件是系数的行列式等于零，即：det0FFFFFFFFFnn2n1nn22221n11211=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛λ−λ−λ−LLLLLLLLLLLLLLLL（特征方程或久期方程）解之得到一组λ值{}iλ，即Fˆ的本征值，把iλ代入)2(′式，再利用归一化条件，即可得到Fˆ的本征函数在Q表象中的表示{}na。例：在A表象中B⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0110，求出B的本征值和本征函数。解：工作表象是A表象，B的...
