１２７§3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系重点：算符的对易关系，两力学量同时有确定值的条件难点：测不准关系及其理解研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系。一、算符的对易关系：[]⎪⎩⎪⎨⎧……≠……=−=不对易对易Gˆ,Fˆ0Gˆ,Fˆ0GˆFˆFˆGˆFˆ,Gˆ1.坐标算符xˆ和动量算符xpˆ的对易关系[]?pˆ,xx=将[]xpˆ,xxpˆpˆxxx−=作用在任意波函数上，即：(xpˆpˆxxx−))x(Ψx)i(x∂∂−=h)(xΨih−))x(x(xΨ∂∂ih=)x(xxΨ∂∂ih−)(xxxΨ∂∂ih−)(xΨ)x(iΨ=h而)x(Ψ是任意的所以：[]xpˆ,x=hi①该式称为x和xpˆ的对易关系，等式右边不等于0，即x和xpˆ不对易。同样可得：[]ypˆ,yˆ=hi②[]zpˆ,zˆ=hi③[]=ypˆ,x[]0pˆ,xz=；[]zpˆ,yˆ=[]0pˆ,yˆx=；１２８[]=ypˆ,zˆ[]0pˆ,zˆx=；[]yxpˆ,pˆ=[]zxpˆ,pˆ=[]zypˆ,pˆ=0以上可总结为基本对易关系：[][][]⎪⎩⎪⎨⎧==δ=0p,p0x,xip,xjijiijjih3,2,1j,i=即动量分量和它所对应的坐标分量是不对易的，而和不对应的坐标分量是对易的；动量各分量和坐标各分量是对易的。说明：a.[]GˆFˆFˆGˆFˆ,Gˆ−=叫Gˆ与Fˆ的对易关系，等于0叫二算符对易；否则叫二算符不对易。b.以上ix和jp的对易关系是量子力学算符的基本对易关系，由它们可以推出其他的一些算符（有经典对应的）对易关系。2.角动量算符的对易关系：[]=yxLˆ,LˆxyyxLˆLˆLˆLˆ−=)pˆzˆpˆyˆ(yz−)pˆxˆpˆzˆ(zx−)pˆxˆpˆzˆ(zx−−)pˆzˆpˆyˆ(yz−=−xzpˆzˆpˆyˆ−zzpˆxˆpˆyˆxypˆzˆpˆzˆ+zypˆxˆpˆzˆ+−zxpˆyˆpˆzˆyxpˆzˆpˆzˆ+−zzpˆyˆpˆxˆyzpˆzˆpˆxˆ=−xzpˆzˆpˆyˆxzpˆpˆzˆyˆ+−xˆpˆzˆpˆzyxˆzˆpˆpˆzy=xpˆyˆih−+xˆpˆiyh=zLˆih即：[]=yxLˆ,LˆzLˆih１２９同理可证：[]=zyLˆ,LˆxLˆih；[]=xzLˆ,LˆyLˆih说明：a.[]=yxLˆ,LˆzLˆih；[]=zyLˆ,LˆxLˆih；[]=xzLˆ,LˆyLˆih可合并写为：LiLLrhrr=×(矢量式)，即角动量算符的定义式。b.利用LiLLrhrr=×可以证明：]Lˆ,Lˆ[x2=]Lˆ,Lˆ[y2=]Lˆ,Lˆ[z2=0；]Lˆ,Lˆ[x2=2xx2LˆLˆLˆLˆ−=3xLˆ+x2yLˆLˆ+x2zLˆLˆ3xLˆ−2yxLˆLˆ−2zxLˆLˆ−=yLˆyLˆxLˆyLˆ−xLˆyLˆ+yLˆxLˆyLˆxLˆ−yLˆyLˆ+zLˆzLˆxLˆzLˆ−xLˆzLˆ+zLˆxLˆzLˆxLˆ−z2Lˆ=]Lˆ,Lˆ[Lˆxyy+yxyLˆ]Lˆ,Lˆ[+]Lˆ,Lˆ[Lˆxzz+zxzLˆ]Lˆ,Lˆ[=03.算符对易关系的运算法则：（补充）<1>...
