５０§2.5定态薛定谔方程重点：定态薛定谔方程及其定态的特点难点：定态薛定谔方程的求解薛定谔方程中包含)t,r(Uv，它决定着态与态的变化。该问题可分为U不含t与含t两大类，前者如核外电子所处的核电场，原子在稳定的外场中运动，粒子被中心力场散射等；后者如原子被光照射等。在前类情况下方程的解有共同特点，本节专予讨论。一、)r(UUv=(不含t)时的薛定谔方程的解采用分离变量法，设)t(f)r()t,r(vvψ=Ψ为薛定谔方程的一种特解(薛定谔方程的解可以表示为许多这种特解之和)，将)t(f)r()t,r(vvψ=Ψ代到薛定谔方程，有:)t(f)r()r(U)t(f)r(2)r(t)t(fi22vvvhrhψ+ψ∇μ−=ψ∂∂整理有：E)]r()r(U)r(2[)r(1t)t(f)t(fi22=ψ+ψ∇μ−ψ=∂∂vvvhvh(常数)(方程左边只与时间有关，而右边是空间坐标的函数。由于空间坐标与时间是相互独立的变量，所以只有当两边都等于同一个常量时，该等式才成立，以E表示该常量)即：)t(Efdt)t(dfi=h，其解为：tEiCe)t(fh−=)r(E)r()r(U)r(222vvvvhψ=ψ+ψ∇μ−—定态薛定谔方程５１而定态薛定谔方程的解视)r(Uv而定于是薛定谔方程的特解为：tEie)r()t,r(hvv−ψ=Ψ二、定态及其特点以上特解tEie)r()t,r(hvv−ψ=Ψ描述的态有两个特点：1.体系能量取确定值：(1)因特解中波的频率hE=ω，故ω=hE，按德布罗意关系，即)t,r(vΨ描写的体系的能量E是常数；(2)tEie)r()t,r(hvv−ψ=Ψ描写了体系的能量取确定值的稳定状态，即能量取值不随时间改变的状态(这种状态叫定态)。tEie)r(hv−ψ或)r(vψ叫定态波函数。2.ω和Jv均不随时间改变，且0J=⋅∇v。22)r()t,r(vvψ=Ψ=ω与t无关系，形成稳定分布,由几率分布连续性方程0Jt=⋅∇+∂ω∂v得：0J=⋅∇r（由薛定谔方程也可导出此式）。]e)r(e)r(ee)r([2iJtEitEi*tEi*tEihhhhrvvhv−−ψ∇ψ−ψ∇ψμ=)]r()r()r()r([2i**vvvvhψ∇ψ−ψ∇ψμ=形成稳定流动。此结果与连续性方程吻合。三、定态薛定谔方程（StationarydingeroSchr&&Equation）1.定态薛定谔方程５２)r(E)r()r(U)r(222vvvvhψ=ψ+ψ∇μ−2.哈密顿算符及能量本征方程把分离变量后得到的两个方程)t(Efdt)t(dfi=h)r(E)r()r(U)r(222vvvvhψ=ψ+ψ∇μ−分别乘以)r(vψ和tEieh−得：)t,r(Et)t,r(ivvhΨ=∂Ψ∂)t,r(E)t,r()]r(U2[22vvvhΨ=Ψ+∇μ−二者类型相当，都是以算符作用在)t,r(vΨ上，得出一个数E乘以)t,r(vΨ，算符ti∂∂h和)r(U222vh+∇μ−完全相当，这两个算符都称为能量算符。由于)r(U222vh+∇μ−是将经典...
