３０６§7.7全同粒子体系的波函数，泡利（Pauli）原理重点:忽略L-S耦合情况下的体系的波函数难点:Pauli原理及其数学表示首先全同粒子体系的波函数同样要满足Schrödinger，其次必须满足全同性原理。Fermions体系的波函数要反对称，Boson体系的波函数要对称。所以第一要求解Schrödinger方程，再把解按照统计性要求对称化。一、两个全同粒子体系的波函数体系的哈密顿为)q,q(W)q(U2)q(U2Hˆ2122221212++∇μ−+∇μ−=hhW)q(Hˆ)q(Hˆ2010++=)q,q(E)q,q(Hˆ2121Φ=Φ.1.单体近似下的求解不考虑二粒子的相互作用，即忽略W，哈密顿则写成)q(Hˆ)q(HˆHˆ2010+=，不显含时间。其本征方程为:)q,q(E)q,q()]q(Hˆ)q(Hˆ[21212010Φ=Φ+此方程可分离变量，令)q()q()q,q(2121φφ=Φ，得:)q()1()q()q(Hˆ1110φε=φ)q()2()q()q(Hˆ2220φε=φ则当第一个粒子处于第i态，第二个粒子处于第j态（同一体系二粒子的哈密顿相同），假设已求得：３０７)q()q()q(Hˆ1ii1i10φε=φ，)q()q()q(Hˆ2jj2j20φε=φ则体系的能量为jiEε+ε=，波函数为)q()q()q,q(2j1i21φφ=Φ。(这是从Schrödinger方程求得的解)(1)能量有交换简并：若把两个粒子交换一下，)q()q()q,q()q,q(Pˆ2i1j122112φφ=Φ=Φ，该函数对应的能量本征值为jiEε+ε=。这表明)q,q(21Φ和)q,q(Pˆ2112Φ都是同一能量的本征函数，因此能量是二度简并的，这种简并称为交换简并。(2)对称化的波函数因为粒子不可区分，由全同性原理知要把波函数对称化，当ji=时，)q()q(2i1iSφφ=Φ(1)当ji≠时，)q,q(21Φ和)q,q(Pˆ2112Φ,既不对称也不反对称，因而不满足全同性原理的要求，但这两个波函数可构成对称和反对称的波函数:)]q()q()q()q([c1j2i2j1iSφφ+φφ=Φ(2))]q()q()q()q(['c1j2i2j1iAφφ−φφ=Φ(3)其中2/2'cc==.以上(1)、(2)、(3)都属于jiEε+ε=的本征函数。这样满足了对称化的要求，即解决了数学上编号而物理上不能编号的矛盾。(2)和(3)式可写成：∑φφ=ΦP2j1i21S)q()q(P21)q,q(∑φφ−=ΦP2j1iP21A)q()q(P)1(21)q,q((4)３０８其中P表示两个粒子在单态中的某种排列，∑P代表对粒子不同排列的求和，规定一种排列为偶排列，交换一次则为奇排列。并且，反对称波函数还可表示成Slater行列式的形式：)q()q()q()q(212j1j2i1iAφφφφ=Φ(5)(3)Pauli原理从(4)和(5)式可以看出，若ji=，则两种排列相同或行列式中两行相同，则0A=Φ。则得到：费米子组成的全同粒子体系中，两粒子不能处于相同的状态。2....
