１６４§4.4幺正变换重点：掌握简单的幺正变换难点：幺正变换矩阵的计算目的：前面讲过，已知一波函数在坐标表象中的表示是)t,x(Ψ。如果把)t,x(Ψ按动量本征函数系展开，则展开系数为：)t,p(c=)x(p∫∗ψ)t,x(Ψdx于是)t,p(c就是)t,x(Ψ在动量表象中的表示；如果将)t,x(Ψ按Qˆ的本征函数展开，则展开系数为：∫∗=nnu)t(a)t,x(Ψdx于是⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛M21aa就是)t,x(Ψ在Q表象中的矩阵表示。以上是这两种简单情况，本节讨论的是一般情况，即态和力学量从A表象到B表象的变换。下面用大家熟悉的解析几何中的坐标变换作为类比，以引入量子力学中表象变换的概念。平面直角坐标系xoy的基矢为1ev和2ev，且长度为1，显然二者彼此相互正交归一，即：jieevv⋅ijδ=(i,j＝1，2)(1)另外这组基矢（1ev,2ev）还是完全的，因为平面上任何一个矢量Av均可用它展开，即：Av＝1A1ev+2A2ev(2)１６５其中1AAv=1er⋅，2AAv=2ev⋅为Av在相应基矢上的投影（分量）。因为1A和2A确定后，矢量Av完全确定，所以可认为（1A,2A）是Av在坐标系xoy平面上的表示。现取另一个平面坐标系ηζo，它由坐标系xoy逆时针转动θ角而得到，基矢分别用1bv和2bv表示，则：jibbvv⋅＝ijδ(i,j＝1,2）(正交归一性))1(′且矢量Av在坐标系ηζo中表示为Av＝'1A1bv+'2A2bv(完全性))2(′其中（'1A,'2A）是Av在ηζo坐标系中的表示。于是由(2)，)2(′式有：Av1A=1ev+2A2ev'1A=1bv+'2A2bv(3)则：1AAv=1er⋅'1A=1bv1ev⋅+'2A2bv1ev⋅2AAv=2ev⋅'1A=1bv2ev⋅+'2A2bv2ev⋅利用矩阵可表示为：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛21AA⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅=22211211ebebebebvvvvvvvv⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛'2'1AA＝⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θθθ−θcossinsincos⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛'2'1AA(4)１６６记为：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛21AA＝()θR⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛'2'1AA其中()θR＝⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛θθθ−θcossinsincos这表明：就二维空间而言，同一矢量Av在不同的坐标系中的表示用一变换矩阵()θR联系，其他空间也是如此。与此类似，可以推导出量子力学中态和力学量从一表象到另一表象的变换公式，不过于此相比要复杂的多。一、A表象与B表象的变换关系（基矢变换）1.变换矩阵S设Aˆ，Bˆ的本征方程分别为：Aˆ)x(nψ＝nλ)x(nψL,2,1n=Bˆ)x(βϕ＝βμ)x(βϕL,2,1=β其中{)x(nψ}和{)x(βϕ}均为正交归一完全系。将)x(βϕ按{)x(nψ}展开有：)x(βϕ＝∑ψnn)x(βnSL,2,1=β(1))x(∗αϕ)x(mm∑∗ψ=∗αmSL,2,1=α)1(′展开系数为：βnS...
