８３§3.2动量算符和角动量算符重点：动量算符和角动量算符本征问题的求解以及相应的结果。难点：角动量算符本征问题的求解力学量算符与它代表得力学量由本征方程联系起来，解本征方程可确定本征态及力学量的取值。现在具体地讨论一下pˆr和Lˆr的本征方程。一、动量算符及其本征解1.动量算符：pˆr∇−=hi)zkyjxi(i∂∂+∂∂+∂∂−=rrrh本征方程为：)r(p)r(ipprrrhrrΨ=Ψ∇−（三维）其中pr为动量算符的本征值，)r(prrΨ是属于本征值pr的本征函数。采用分离变量法解：令=Ψ)r(prr)x(xpΨ)y(ypΨ)z(zpΨ，则：)zkyjxi(i∂∂+∂∂+∂∂−rrrh)x(xpΨ)y(ypΨ)z(zpΨ)pkpjpi(zyxvrr++=)x(xpΨ)y(ypΨ)z(zpΨ可得三个方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧Ψ=Ψ∂∂−Ψ=Ψ∂∂−Ψ=Ψ∂∂−zzyyxxpzppyppxppzipyipxihhh⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=Ψ=Ψ=Ψzpi3pypi2pxpi1pzzyyxxeAeAeAhhh所以本征函数=Ψ)r(prr)x(xpΨ)y(ypΨ)z(zpΨrpi)zpypxp(icecezyxrrhh⋅++==；（即为平面波）本征值pr连续取值，构成连续谱（一般来说x,p,T可连续取值，L８４取分立值，E兼而有之）2.归一化常数c的确定<1>对平面波不能用1d2=τΨ∫归一化。以一维情况为例：xpi1pxxeA)x(h=Ψ；),(px+∞−∞∈；),(x+∞−∞∈，易得：∞==Ψ∫∫+∞∞−+∞∞−dxAdx)x(212px因为在平面波描述的状态下，几率密度为常数，即粒子在空间各点的相对强度是相同的。在（)dxx,x+范围内找到粒子的几率∝=Ψ∝dxAdx)x(dW212pxdx只要0A1≠，则在全空间找到粒子的几率必为无穷大。可见，对平面波不能用1d2=τΨ∫归一化，其原因在于动量算符的本征值xp、yp和zp可取任意值，本征值组成连续谱，粒子在空间任意一点出现的几率都是一样的。因此对连续谱的本征函数，我们一般将函数归一化为δ函数（究竟是为什么？学了测不准关系会清楚一些）<2>归到Dirac的δ函数（即δ归一化，也可叫“规格化”）考虑积分：τΨΨ∫∞∗′d)r()r(pprrrr∫∫∫∞+∞−∞+∞−∞+∞−−+−+−=dxdydz]}z)pp(y)pp(x)pp(iexp{[c'zz'yy'xx2h而π=δ21)k(∫+∞∞−dxeikx；)x(a1)ax(δ=δ８５（参看梁昆淼编《数学物理方法》）则：∫+∞∞−dxex)pp(ixx′−h)pp(2xx′−δπ=h，同理可得对z,y的积分于是：τΨΨ∫∫∫+∞∞−∗d)r()r(pp'rrrr)pp()2(c'32rrh−δπ=其中)pp(′−δrr)pp(xx′−δ=)pp(yy′−δ)pp(zz′−δ若取32)2(1chπ=，即2/3)2(1chπ=，则有：∫∫∫+∞∞−+∞∞−+∞∞−∗′τΨΨd)r()r(pprrrr=)pp(′−δrr（归到...
