１５５§4.2算符的矩阵表示重点：力学量如何用算符表示以及算符在自身表象中的表示方式难点：矩阵元的计算一、算符的矩阵表示设在坐标表象中，有：()()t,xxi,xFˆt,xΨ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=Φh(1)已知有一力学量算符Qˆ，其本征方程为：()()xuQxuQˆnnn=，nQ为分立谱(L,2,1n=)其中(){}xun组成正交归一完全系于是有：()()∑=Φnnnxutb；()()()∑=Ψnnnxutat,x代入()()t,xxi,xFˆt,xΨ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=Φh中，得：()()()()∑∑=nnnnnnxutaFˆxutb以()xum∗左乘上式两边并对x变化的全部空间积分，有：()()()()()()∫∑∫∑∗∗=dxxutaFˆxudxxuxutbnnnmnnmn()()()()()()∑∫∑∫∗∗=nnmnnnmndxxuFˆxutadxxuxutb()()()()∑∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=∗nnmnmdxxuxi,xFˆxutatbh则：()∑=nnmnmtaF)t(b（L,2,1m=）１５６即：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL22m11mm22212122121111aFaFbaFaFbaFaFb其中：()()∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=∗dxxuxi,xFˆxuFnmmnh(2)是⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂xi,xFˆh在Q表象中的矩阵元(LL2,1m;2,1n==)将()∑=nnmnmtaF)t(b写成矩阵形式可表示为：⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛MMLLLLLLLLLMMn212m1m22211211m21aaaFFFFFFbbb(3)也可以简写为：Ψ=ΦF此即是()()t,xxi,xFˆt,xΨ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=Φh在Q表象中的表示其中：(){}tbm和(){}tan分别是()t,xΦ和()t,xΨ在Q表象中的表示；()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==LLLLLLLLLLLLLLLLmn2n1nn22221n11211mnFFFFFFFFFFF(4)为Fˆ在Q表象中的表示，为nm×阶矩阵。二、讨论１５７1.表示力学量F的矩阵是厄米矩阵，即：+∗==mnnmmnFFF（矩阵转置取复共轭不变），记为FF=+。证明：()∫∫∗∗==dxuuFˆdxuFˆuFnmnmmn[][]+∗∗∗∗∗====∫∫mnnmmnnmFFdxuFˆudxuuFˆ可见：厄米矩阵的主对角线的元素为实数，第m行第n列元素与第n行第m列元素（即对称矩阵元）互为共轭复数，即+∗==mnnmmnFFF。（表示厄米算符的矩阵就是厄米矩阵）。2.力学量F的矩阵在自身表象中为对角矩阵。设QˆFˆ=，则由mnFdxuFˆun*m∫=，可得：mnQdxuQˆun*m∫=dxuuQn*mn∫=mnnQδ=⎩⎨⎧≠==nm0nmQn即：Q＝⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛LLLLLLLL000000000321QQQ可见：力学量F的矩阵在自身表象中为对角矩阵，主对角线元素为该算符的本征值，非对角元素为零。3.若Qˆ的本征值即有分立谱，又有连续谱（以上是以分立谱为例），上述（一、二）讨论结...
