-293-第十五章常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22xydxdy+=。于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。§1常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=0)(),(yaybxayxfdxdy（1）在下面的讨论中，我们总假定函数),(yxf连续，且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L，使得|||),(),(|yyLyxfyxf−≤−这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(xy在若干点bxxxxaN=<<<<=L210处的近似值),,2,1(NnynL=的方法，),,2,1(NnynL=称为问题（1）的数值解，nnnxxh−=+1称为由nx到1+nx的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为常量h。建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：（i）用差商近似导数若用向前差商hxyxynn)()(1−+代替)('nxy代入（1）中的微分方程，则得)1,,1,0())(,()()(1−=≈−+NnxyxfhxyxynnnnL化简得))(,()()(1nnnnxyxhfxyxy+≈+如果用)(nxy的近似值ny代入上式右端，所得结果作为)(1+nxy的近似值，记为1+ny，则有)1,,1,0(),(1−=+=+NnyxhfyynnnnL（2）这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题⎩⎨⎧=−=+=+)()1,,1,0(),(01ayyNnyxhfyynnnnL（3）得到，按式（3）由初值0y可逐次算出Nyyy,,,21L。式（3）是个离散化的问题，称为差分方程初值问题。-294-需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。（ii）用数值积分方法将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端积分，得∫+−==−+1)1,,1,0())(,()()(1nnxxnnNndxxyxfxyxyL（4）右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。（iii）Taylor多项式近似将函数)(xy在nx处展开，取一次Taylor多项式近似，则得))(,()()(')()(1nnnnnnxyxhfxyxhyxyxy+=+≈+再将)(nxy的近似值ny代入上式右端，所得结果作为)(1+nxy的近似值1+ny，得到离散化的计算公式),(1nnnnyxhfyy+=+以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的计算公式。其中的Taylor展开法，不仅可以得到求...
